Determine F(t) sabendo que
d Fd t=11+4 t^2 i+e^-t j+k e F(0)=k.

Passo 1

O enunciado dá a derivada de um campo vetorial dFdt = 11+4t^2,i + e^-t,j + 1,k e pede achar F(t) com a condição inicial F(0)=k. O conteúdo é integração de funções vetoriais, que se faz integrando cada componente separadamente.

Passo 2

Para integrar a componente i, usamos a fórmula integral dxa^2+x^2=1aarctanl(xar). Aqui temos a=tfrac12^-1, logo
integral dt1+4t^2=12arctan(2t)+C1

Passo 3

Para integrar a componente j, usamos integral e^-tdt=-e^-t+C2.
Para integrar a componente k, temos integral 1,dt = t + C3.

Passo 4

Agora impomos F(0)=k. Em t=0 cada componente deve dar 0i+0j+1k. Isso dá C1=0, C2=1 (pois -1+C2=0) e C3=1.

Passo 5

Substituindo as constantes, obtemos a forma final de F(t).

Resposta

F(t)=12arctan(2t),i + l(1-e^-tr),j + (t+1),k

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