Dê o domínio e esboce o gráfico.
f(x)=-\frac{1}{2} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) = -\dfrac{1}{2}x e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra da função é \;f(x)=-\dfrac{1}{2}x\;.
  • Não há restrições explícitas no enunciado (nenhuma raiz, fração com variável no denominador ou logaritmo aparente).

Passo 2

O que é domínio e como decidir aqui.
  • Definição: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (está bem definida).
  • Observação: a expressão \;-\dfrac{1}{2}x\; é uma função linear (multiplicação de x por um número). Não há divisão por x, nem raiz par de expressão com variável, nem logaritmo de x, ou qualquer outra operação que restrinja x.
  • Conclusão: toda linha reta do tipo ax+b está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio é \mathbb{R} (todos os números reais).

Passo 3

Como entender e preparar o esboço: forma, coeficiente angular e coeficiente linear.
  • Forma geral: uma função linear pode ser escrita \;f(x)=ax+b\;, onde:
    • a é o coeficiente angular (slope), determina a inclinação da reta;
    • b é o coeficiente linear (y-intercept), é o valor de f(x) quando x=0.
  • Para a nossa função temos \;a=-\dfrac{1}{2}\; e \;b=0\;.
    • Isso significa que a reta passa pela origem (0,0) (porque b=0).
    • Sinal de a: como a é negativo, a reta desce da esquerda para a direita (função decrescente).
    • Significado numérico: \;a=-\dfrac{1}{2}\; indica que quando x aumenta de 1, f(x) diminui de \tfrac{1}{2}. Ou pensado em incrementos maiores: quando x aumenta de 2, f(x) diminui de 1.

Passo 4

Escolher pontos convenientes e calcular passo a passo (para desenhar com segurança).
  • Escolha simples: \;x=0\;\Rightarrow\;f(0)=-\dfrac{1}{2}\cdot0=0. Então o ponto (0,0) está na reta.
  • Outro ponto: \;x=2\;\Rightarrow\;f(2)=-\dfrac{1}{2}\cdot2=-1. Então o ponto (2,-1) está na reta.
  • Mais um para confirmar sentido: \;x=-2\;\Rightarrow\;f(-2)=-\dfrac{1}{2}\cdot(-2)=1. Então o ponto (-2,1) está na reta.
  • (Opcional) \;x=4\;\Rightarrow\;f(4)=-2 e \;x=-4\;\Rightarrow\;f(-4)=2. Esses mostram a inclinação: a cada 4 unidades em x sobe/ desce 2 unidades em y.
Com esses pontos basta traçar uma linha reta que passe por eles. A reta vai atravessar o primeiro e terceiro quadrantes negativamente inclinada.

Passo 5

Propriedades úteis que confirmam o esboço (bom para prova rápida).
  • Interceptos:
    • Intercepto em y: \;f(0)=0\; então a reta passa por (0,0).
    • Intercepto em x: resolver f(x)=0 -\dfrac{1}{2}x=0\Rightarrow x=0. Mesmo ponto.
  • Monotonicidade: como a=-\dfrac{1}{2}<0, a função é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}.
  • Paridade: f(-x)=-\dfrac{1}{2}(-x)=\dfrac{1}{2}x=-\bigl(-\dfrac{1}{2}x\bigr)=-f(x), logo f é função ímpar (simetria central na origem).
  • Imagem (range): como é uma reta não horizontal com domínio todo \mathbb{R}, a imagem também é \mathbb{R}.
Dica prática para prova: para esboçar rápido, marque (0,0) e mais um ponto simples como (2,-1), desenhe a reta passando por esses dois pontos, estenda em ambas direções.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: reta de inclinação -\tfrac{1}{2} passando pela origem; pontos de referência: (0,0), (2,-1), (-2,1).

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