Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A regra da função é
. - Não há restrições explícitas no enunciado (nenhuma raiz, fração com variável no denominador ou logaritmo aparente).
Passo 2
O que é domínio e como decidir aqui.
- Definição: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define faz sentido (está bem definida). - Observação: a expressão
é uma função linear (multiplicação de por um número). Não há divisão por , nem raiz par de expressão com variável, nem logaritmo de , ou qualquer outra operação que restrinja . - Conclusão: toda linha reta do tipo
está definida para todo .
Portanto o domínio é
(todos os números reais).
Passo 3
Como entender e preparar o esboço: forma, coeficiente angular e coeficiente linear.
- Forma geral: uma função linear pode ser escrita
, onde: -
é o coeficiente angular (slope), determina a inclinação da reta; -
é o coeficiente linear (y-intercept), é o valor de quando .
-
- Para a nossa função temos
e . - Isso significa que a reta passa pela origem
(porque ). - Sinal de
: como é negativo, a reta desce da esquerda para a direita (função decrescente). - Significado numérico:
indica que quando aumenta de , diminui de . Ou pensado em incrementos maiores: quando aumenta de , diminui de .
- Isso significa que a reta passa pela origem
Passo 4
Escolher pontos convenientes e calcular passo a passo (para desenhar com segurança).
- Escolha simples:
. Então o ponto está na reta. - Outro ponto:
. Então o ponto está na reta. - Mais um para confirmar sentido:
. Então o ponto está na reta. - (Opcional)
e . Esses mostram a inclinação: a cada 4 unidades em sobe/ desce 2 unidades em .
Com esses pontos basta traçar uma linha reta que passe por eles. A reta vai atravessar o primeiro e terceiro quadrantes negativamente inclinada.
Passo 5
Propriedades úteis que confirmam o esboço (bom para prova rápida).
- Interceptos:
- Intercepto em
: então a reta passa por . - Intercepto em
: resolver dá . Mesmo ponto.
- Intercepto em
- Monotonicidade: como
, a função é estritamente decrescente em todo . - Paridade:
, logo é função ímpar (simetria central na origem). - Imagem (range): como é uma reta não horizontal com domínio todo
, a imagem também é .
Dica prática para prova: para esboçar rápido, marque
e mais um ponto simples como
, desenhe a reta passando por esses dois pontos, estenda em ambas direções.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: reta de inclinação passando pela origem; pontos de referência:
,
,
.
Esboço do gráfico: reta de inclinação