Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s+3(s+1)^2(s+3)

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa. A questão pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s+3(s+1)^2,(s+3),
Isso faz parte de “Transformada de Laplace” e, mais especificamente, de “como inverter uma função no domínio de s para o domínio de t”. Para resolver, a gente vai usar dois passos principais:
1) decompor F(s) em frações parciais;
2) usar a tabela básica de transformadas inversas (por ex., L^-1tfrac1s+a=e^-at e L^-1tfrac1(s+a)^2=t,e^-at).

Passo 2

Primeiro, a gente faz a decomposição em frações parciais. Suponha:
2s+3(s+1)^2,(s+3)=As+1+B(s+1)^2+Cs+3,
Multiplicando os dois lados por 2s+3 = A,(s+1)(s+3) + B,(s+3) + C,(s+1)^2, , dá:

Passo 3

Agora a gente expande e iguala coeficientes de potências de s:
  1. Expansão:
  • A,(s+1)(s+3)=A(s^2+4s+3)
  • B,(s+3)=B,s+3B
  • C,(s+1)^2=C(s^2+2s+1)
    Somando tudo:
(A+C)s^2 + (4A + B + 2C)s + (3A+3B+C),
2) Igualando com 2s+3=0cdot s^2 +2s+3, vem o sistema
A + C = 0, 4A + B +2C = 2, 3A +3B + C = 3
3) Da primeira equação C=-A. Substituindo nas outras:
- 4A + B +2(-A)=2;Rightarrow;2A+B=2;Rightarrow;B=2-2A
- 3A+3B+(-A)=3;Rightarrow;2A+3B=3;Rightarrow;2A+3(2-2A)=3;Rightarrow;-4A=-3;Rightarrow;A=tfrac34
Então B=2-2cdottfrac34=tfrac12 e C=-tfrac34.
Logo
F(s)=tfrac34s+1+tfrac12(s+1)^2-tfrac34s+3,

Passo 4

Chegou a hora de inverter cada pedaço usando a tabela:
  • L^-11s+1=e^-t, então tfrac34cdot1s+1to tfrac34,e^-t.
  • L^-11(s+1)^2=t,e^-t, então tfrac12cdot1(s+1)^2to tfrac12,t,e^-t.
  • L^-11s+3=e^-3t, então -tfrac34cdot1s+3to -tfrac34,e^-3t.
Somando tudo, a resposta final é:

Resposta

boxedf(t)=34,e^-t+12,t,e^-t-34,e^-3t,, t>=0

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