Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos ao que interessa. A questão pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
Isso faz parte de “Transformada de Laplace” e, mais especificamente, de “como inverter uma função no domínio de
1) decompor
2) usar a tabela básica de transformadas inversas (por ex.,
Passo 2
Primeiro, a gente faz a decomposição em frações parciais. Suponha:
Multiplicando os dois lados por
Passo 3
Agora a gente expande e iguala coeficientes de potências de
:
- Expansão:
-
-
-
Somando tudo:
2) Igualando com
3) Da primeira equação
-
-
Então
Logo
Passo 4
Chegou a hora de inverter cada pedaço usando a tabela:
-
, entãoL^-11s+1=e^-t .tfrac34cdot1s+1to tfrac34,e^-t -
, entãoL^-11(s+1)^2=t,e^-t .tfrac12cdot1(s+1)^2to tfrac12,t,e^-t -
, entãoL^-11s+3=e^-3t .-tfrac34cdot1s+3to -tfrac34,e^-3t
Somando tudo, a resposta final é: