Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente achar
Conteúdo: transformada inversa de Laplace usando frações parciais.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Decompor
em frações simples; - Encontrar coeficientes (A, B, C, D);
- Completar quadrado em
; - Usar pares padrão de Laplace pra inverter cada pedacinho.
A partir do próximo passo, partimos para a mão na massa.
Passo 2
Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é
, a gente supõe:
Por que isso? Porque cada termo simples tem inversa de Laplace conhecida na forma
e
, etc.
Passo 3
Multiplicamos tudo por
e igualamos numeradores:
Para achar
e
rapidinho, avaliamos em
e
:
-
Se
:
LHS =.
RHS só sobrevive o termo com:
.
Então\ -
Se
:
LHS =.
RHS só tem:
.
Logo\
Passo 4
Faltam
e
. A forma mais direta é expandir e igualar coeficientes em
.
Após a conta (ou usando sistema), a gente encontra:
Após a conta (ou usando sistema), a gente encontra:
Resumo da decomposição:
Passo 5
Agora vem completar o quadrado em
:
E no numerador
a gente escreve como
Logo
[
\frac{-\tfrac1{50}s+\tfrac{7}{10}}{(s+1)2+22}
-\frac1{50},\frac{s+1}{(s+1)2+22}
+\frac{18}{25},\frac{1}{(s+1)2+22}.
]
+\frac{18}{25},\frac{1}{(s+1)2+22}.
]
Agora aplicamos os pares conhecidos:
-
-
-
.
Resposta
Juntando tudo, o resultado final é