Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s^2-3(s+2)(s-3)(s^2+2 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente achar
f(t)=L^-1F(s) com F(s)=s^2-3(s+2)(s-3)(s^2+2s+5)
Conteúdo: transformada inversa de Laplace usando frações parciais.
O que vamos precisar:
  1. Decompor em frações simples;
  2. Encontrar coeficientes (A, B, C, D);
  3. Completar quadrado em ;
  4. Usar pares padrão de Laplace pra inverter cada pedacinho.
A partir do próximo passo, partimos para a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é
s^2-3(s+2)(s-3)(s^2+2s+5) =As+2+Bs-3+C,s+Ds^2+2s+5 , a gente supõe:
Por que isso? Porque cada termo simples tem inversa de Laplace conhecida na forma
e , etc.

Passo 3

Multiplicamos tudo por s^2-3 = A,(s-3)(s^2+2s+5) + B,(s+2)(s^2+2s+5) + (C,s+D),(s+2)(s-3) e igualamos numeradores:
Para achar e rapidinho, avaliamos em e :
  • Se :
    LHS = .
    RHS só sobrevive o termo com :
    .
    Então \
  • Se :
    LHS = .
    RHS só tem :
    .
    Logo \

Passo 4

Faltam C=-tfrac150, D=tfrac710 e F(s) =-125,1s+2 +350,1s-3 +-tfrac150s+tfrac710s^2+2s+5 . A forma mais direta é expandir e igualar coeficientes em .
Após a conta (ou usando sistema), a gente encontra:
Resumo da decomposição:

Passo 5

Agora vem completar o quadrado em s^2+2s+5 = (s+1)^2+4 :
-tfrac150(s+1)+underbracel(tfrac710+tfrac150r)=tfrac1825
E no numerador -tfrac150s+tfrac710(s+1)^2+2^2 = -150,s+1(s+1)^2+2^2 +1825,1(s+1)^2+2^2 a gente escreve como

Logo
[
\frac{-\tfrac1{50}s+\tfrac{7}{10}}{(s+1)2+22}

-\frac1{50},\frac{s+1}{(s+1)2+22}
+\frac{18}{25},\frac{1}{(s+1)2+22}.
]
Agora aplicamos os pares conhecidos:
  • .

Resposta

Juntando tudo, o resultado final é
boxed f(t) =-125,e^-2t +350,e^3t -150,e^-tcos(2t) +925,e^-tsin(2t)

Exercícios relacionados