Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s(s+2)(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: o enunciado pede pra achar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s(s+2)(s+1)
Ou seja, queremos . O conteúdo que vamos usar é:
  1. Decomposição em frações parciais (pra separar em termos que a gente já conhece na tabela de Laplace).
  2. A tabela de transformadas inversas básicas, em que .

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais. A gente supõe que
s(s+2)(s+1) = As+1 + Bs+2
Isso significa que
s = A(s+2) + B(s+1)
Agora expandimos e agrupamos termos em s = (A+B),s + (2A + B) :
A + B = 1, 2A + B = 0
Comparando coeficientes de (2A+B)-(A+B)=0-1Rightarrow A=-1 e termos constantes, temos o sistema:
s(s+2)(s+1) = -1s+1 + 2s+2
Resolvendo, subtraindo a primeira da segunda:
Então . Logo

Passo 3

Agora é só usar a tabela de transformadas inversas:
L^-1l1s+1r = e^-t, L^-1l1s+2r = e^-2t
Como a transformada é linear, a gente aplica termo a termo:
f(t) = -1cdot e^-t + 2cdot e^-2t

Resposta

boxedf(t) = 2,e^-2t - e^-t

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