Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=s(s^2-2 s+2)(s^2+2 s+2)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para achar
.
Isso envolve conteúdo de transformada de Laplace (e, no caso, a transformada inversa) e método de frações parciais.
Para resolver a gente vai precisar:
  1. Reescrever cada quadrado completo:
    e .
  2. Fazer frações parciais em cima desses dois fatores.
  3. Usar a tabela básica de transformadas inversas, em especial
    .

Passo 2

Vamos escrever
F(s)=sl((s-1)^2+1r),l((s+1)^2+1r) ;stackrelFP=; A(s-1)+B(s-1)^2+1 ;+;C(s+1)+D(s+1)^2+1
Aqui “FP” é frações parciais. A ideia é achar de modo que essa soma seja igual a .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por A=0, B=tfrac14, C=0, D=-tfrac14 e igualando polinômios em F(s) =tfrac14(s-1)^2+1;-;tfrac14(s+1)^2+1 =141(s-1)^2+1-141(s+1)^2+1 , chega-se ao sistema
Resolvendo:
  • De (1): .
  • De (3)+(4): , daí .
  • Em (2): .
    Logo
Assim

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa. Lembre que
Logo
Laplace^-11(s-a)^2+1(t) =e^a t,sin(t)

Resposta

boxed,f(t)=14l(e^t - e^-tr),sin(t)

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