Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=3 s+16s^2-s-6

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar
f(t)=L^-1F(s), F(s)=3s+16s^2 - s - 6
Isso é um problema de Transformada Inversa de Laplace. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Fatorar o denominador;
  2. Fazer decomposição em frações parciais;
  3. Usar a tabela básica de transformadas inversas, tipo .

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar
s^2 - s - 6 = (s-3)(s+2)
Isso facilita a gente separar em pedacinhos do tipo .

Passo 3

Agora vamos escrever
3s+16(s-3)(s+2) =As-3+Bs+2
Multiplicando tudo por 3s+16 = A(s+2) + B(s-3) , dá

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A(s+2)+B(s-3)= (A+B),s + (2A - 3B)
Comparando com A + B = 3, 2A - 3B = 16 , chegamos ao sistema
2(3 - B) - 3B = 16 Longrightarrow 6 -2B -3B = 16 Longrightarrow -5B = 10 Longrightarrow B = -2
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Então .

Passo 5

Reescrevendo F(s)=5s-3 + -2s+2 com L^-1!tfrac5s-3 = 5e^3t, L^-1!tfrac-2s+2 = -2,e^-2t e :
Agora aplicamos a transformada inversa em cada parte:

Resposta

boxedf(t)=5,e^3t-2,e^-2t

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