As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito, definido na região -a / 2.
Suponha que a partícula tenha massa m=1 g, velocidade de 1 m / s e o poço tenha largura de 1 cm . Determine o número quântico n e a separação relativa entre os níveis de energia.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma partícula de massa m = 1 g se movendo com velocidade v = 1 m/s dentro de um poço de potencial infinito de largura a = 1 cm, limitado por −a/2<x<a/2. A gente quer descobrir dois troços:
  1. o número quântico n correspondente ao nível em que a energia quântica Eₙ bate com a energia clássica da partícula;
  2. a “separação relativa” entre níveis, isto é .
Conteúdo da matéria: poço de potencial infinito em Mecânica Quântica, quantização de energia (nivelação), e comparação com energia clássica. Vamos precisar da fórmula de do poço infinito e da energia cinética clássica .

Passo 2

Na teoria do poço infinito de largura En ;=; n^2pi^2hbar^22,m,a^2, , os níveis de energia são dados por
onde
  • é o número quântico,
  • é a constante de Planck reduzida ( J·s),
  • é a massa da partícula,
  • é a largura do poço.
Esse resultado vem da resolução da equação de Schrödinger com nas paredes.

Passo 3

Agora calculamos a energia cinética clássica da partícula:
K ;=; tfrac12,m,v^2
Como K = tfrac12,(1times10^-3,kg),(1,m/s)^2 = 0,5times10^-3,J = 5times10^-4,J kg e m/s,

Passo 4

A gente supõe que essa energia clássica coincide com o nível quântico En = K ;Longrightarrow; n^2pi^2hbar^22,m,a^2 ;=; 5times10^-4,J . Então:
n^2 = 2,m,a^2pi^2hbar^2;K
Isolando n^2 approx 9,1times10^56 Rightarrow n approx 3,0times10^28 :
Substituindo , , e J, dá

Passo 5

Para achar a separação relativa entre níveis, usamos
En+1-EnEn =(n+1)^2 - n^2n^2 =2n+1n^2 approx 2n (para ngg1)
Então
De

Resposta

n ≃ 3,0×10^28
Separação relativa ΔE/Eₙ ≃ 6,7×10⁻²⁹

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