As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa
dentro de um poço de potencial infinito, definido na região
.
Suponha que a partícula tenha massa
, velocidade de
e o poço tenha largura de 1 cm . Determine o número quântico
e a separação relativa entre os níveis de energia.
Suponha que a partícula tenha massa
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma partícula de massa m = 1 g se movendo com velocidade v = 1 m/s dentro de um poço de potencial infinito de largura a = 1 cm, limitado por −a/2<x<a/2. A gente quer descobrir dois troços:
- o número quântico n correspondente ao nível em que a energia quântica Eₙ bate com a energia clássica da partícula;
- a “separação relativa” entre níveis, isto é
.
Conteúdo da matéria: poço de potencial infinito em Mecânica Quântica, quantização de energia (nivelação), e comparação com energia clássica. Vamos precisar da fórmula de
do poço infinito e da energia cinética clássica
.
Passo 2
Na teoria do poço infinito de largura
, os níveis de energia são dados por
onde
-
é o número quântico, -
é a constante de Planck reduzida ( J·s), -
é a massa da partícula, -
é a largura do poço.
Esse resultado vem da resolução da equação de Schrödinger com
nas paredes.
Passo 3
Agora calculamos a energia cinética clássica da partícula:
Como
kg e
m/s,
Passo 4
A gente supõe que essa energia clássica coincide com o nível quântico
. Então:
Isolando
:
Substituindo
,
,
e
J, dá
Passo 5
Para achar a separação relativa entre níveis, usamos
Então
Resposta
n ≃ 3,0×10^28
Separação relativa ΔE/Eₙ ≃ 6,7×10⁻²⁹
Separação relativa ΔE/Eₙ ≃ 6,7×10⁻²⁹