Determine
, isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente achar
sendo
sendo
Então o conteúdo é Transformada de Laplace (inversa) e vamos precisar de frações parciais pra decompor essa função racional e depois usar tabelas básicas de transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, a teoria: quando você tem
como quociente de polinômios e o grau do numerador é menor que o do denominador, a gente costuma escrever
Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é achar constantes
tais que essa soma seja igual a
.
Passo 3
Agora vamos determinar
.
Começo escrevendo
Começo escrevendo
Multiplicando tudo por
, fica
Abre cada termo:
-
. -
. -
.
Somando:
Como os dois lados têm que ser iguais para todo
, igualamos coeficientes:
- Coef. de
: - Coef. de
: - Termo constante:
⇒ .
Com
, da eq. 1 vem
⇒
.
Da eq. 2 temos .
Resolvendo o sistema:
Da eq. 2 temos
Resolvendo o sistema:
- Somando as duas:
⇒ . - Então
.
Logo
Passo 4
Agora aplicamos transformada inversa em cada fração:
-
. -
. -
.
Somando tudo, obtemos
.