Determine f(t), isto é, a transformada inversa de Laplace de cada função racional dada abaixo:
F(s)=2 s-1s^3-s

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar
F(s)=2s-1s^3 - s
sendo
Então o conteúdo é Transformada de Laplace (inversa) e vamos precisar de frações parciais pra decompor essa função racional e depois usar tabelas básicas de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, a teoria: quando você tem F(s)=2s-1s(s-1)(s+1) = As+Bs-1+Cs+1 como quociente de polinômios e o grau do numerador é menor que o do denominador, a gente costuma escrever
Isso se chama decomposição em frações parciais. A ideia é achar constantes tais que essa soma seja igual a .

Passo 3

Agora vamos determinar 2s-1s(s-1)(s+1) =As+Bs-1+Cs+1 .
Começo escrevendo
2s - 1 = A,(s-1)(s+1) + B,s(s+1) + C,s(s-1)
Multiplicando tudo por 2s - 1 = (A+B+C),s^2 + (B - C),s + (-A) , fica
F(s)=1s + 1/2s-1 - 3/2s+1
Abre cada termo:
  • .
  • .
  • .
Somando:
Como os dois lados têm que ser iguais para todo , igualamos coeficientes:
  1. Coef. de :
  2. Coef. de :
  3. Termo constante: .
Com , da eq. 1 vem .
Da eq. 2 temos .
Resolvendo o sistema:
  • Somando as duas: .
  • Então .
Logo

Passo 4

Agora aplicamos transformada inversa em cada fração:
  • .
  • .
  • .
Somando tudo, obtemos .

Resposta

boxedf(t)=1+tfrac12,e^t-tfrac32,e^-t

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