Determine f(x) se f(yx)=raizx^2+y^2y(x y>0).

Passo 1

A questão é uma equação funcional que diz que para todo x,y com x·y>0 vale f\left(\frac yx\right)=\frac{\sqrt{x2+y2}}y. Estamos em uma aula de funções e equações funcionais, e o truque aqui é usar uma mudança de variável para expressar o argumento de f de forma branca (independente de x).

Passo 2

Vamos chamar t= yx. Dessa forma temos y=tx. Como x y>0, concluímos que t>0.

Passo 3

Substituindo y=tx na expressão de f:
f(t)=fl(tfrac yxr)=raizx^2+(tx)^2tx=raizx^2(1+t^2)t x=|x|raiz1+t^2t x

Passo 4

Como estamos no caso x y>0 e t=y/x>0, isso implica x>0, logo |x|=x. Então
f(t)=xraiz1+t^2t x=raiz1+t^2t

Passo 5

Troca o nome da variável de volta para x: assim obtemos a forma geral de f.

Resposta

f(x)=raiz1+x^2x, x>0.

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