Utilizando uma função auxiliar adequada esboce o gráfico de f(x)=x^2-81x-9 e calcule lim x 9 f(x). Lembre que isso foi ensinado em sala de aula.

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a ideia de função auxiliar para tratar a indeterminação em x=9. O conteúdo envolve fatoração de polinômios, simplificação de frações algébricas e cálculo de limite para ponto de indeterminação. Precisamos esboçar o gráfico de f(x) e encontrar lim_{x→9} f(x).

Passo 2

Começamos fatorando o numerador x^2−81. Observe que isso é uma diferença de quadrados, então
x^2-81=(x-9)(x+9)

Passo 3

Isso mostra que para x≠9 podemos simplificar
f(x)=x^2-81x-9=(x-9)(x+9)x-9=x+9

Passo 4

Definimos então a função auxiliar g(x)=x+9 para x≠9. Com isso, o esboço do gráfico de f é o mesmo da reta y=x+9, exceto que em x=9 f não está definida, gerando um “buraco” no ponto correspondente.

Passo 5

Para encontrar o limite, usamos que quando x→9 (e x≠9) vale f(x)=g(x)=x+9. Assim, basta avaliar g em 9:
limxto9f(x)=limxto9(x+9)=9+9=18

Resposta

O gráfico de f é a reta y=x+9 com um ponto removido em (9,18). E limxto9f(x)=18.

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