Use a diferenciação logarítmica para achar d y / d x.
a) y=(x+2)^4 / 3(x-3)^3 / 2

Passo 1

Temos a função y = (x+2)^4/3(x-3)^3/2. O conteúdo é diferenciação de funções definidas por produto e potência, e vamos usar a diferenciação logarítmica, que nos permite converter produtos em somas e potências em coeficientes, facilitando o uso da regra da cadeia.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para usar as propriedades de logaritmo ( ln(a^b)=bln a e ln(ab)=ln a+ln b):
ln y = 43ln(x+2) + 32ln(x-3)

Passo 3

Agora derivamos cada lado em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia a ln y:
ddx[ln y] = 1ydydx

Passo 4

No lado direito, derivamos termo a termo usando a regra de ln(u) e a regra da cadeia:
ddxl(tfrac43ln(x+2)r)=43cdot1x+2,ddxl(tfrac32ln(x-3)r)=32cdot1x-3

Passo 5

Juntando, temos
1ydydx = 43(x+2) + 32(x-3)

Passo 6

Para isolar dy/dx, multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y=(x+2)^4/3(x-3)^3/2:
dydx = (x+2)^4/3(x-3)^3/2l(43(x+2) + 32(x-3)r)

Passo 7

Por fim, para simplificar, fatoramos (x+2)^1/3(x-3)^1/2 e somamos frações:
dydx=(x+2)^1/3(x-3)^1/28(x-3)+9(x+2)6=(x+2)^1/3(x-3)^1/217x-66

Resposta

dydx=17x-66(x+2)^1/3(x-3)^1/2.

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