Determine f'(x):
f(x) = x^3 - 5\sqrt[3]{x^2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar f'(x) para a função
f(x)=x^3-5\sqrt[3]{x^2}.
Informações dadas:
  • A função tem dois termos: x^3 e -5\sqrt[3]{x^2}.
  • A raiz cúbica aparece no segundo termo: \sqrt[3]{x^2}.

Passo 2

Transformar a raiz cúbica em potência facilita a derivação. Lembrando que \sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{1/3}=x^{2/3}. Portanto podemos reescrever
f(x)=x^3-5x^{2/3}.

Passo 3

Relembrando regras de derivação que vamos usar (explicando devagar):
  • Regra da soma/constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem na frente. Ou seja, \dfrac{d}{dx}[a\cdot g(x)]=a\cdot g'(x) para constante a.
  • Regra do expoente (power rule): para expoente real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n pode ser fração como 2/3. Aplicando essa regra obtém-se a derivada de x^3 e de x^{2/3}.

Passo 4

Derivar termo a termo:
  • Para x^3: usando a power rule com n=3,
\frac{d}{dx}\bigl(x^3\bigr)=3x^2.
  • Para -5x^{2/3}: a constante -5 sai na frente e aplicamos power rule com n=2/3:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr)=\frac{2}{3}x^{2/3-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Então
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{2/3}\bigr)=-5\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}=-\frac{10}{3}x^{-1/3}.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos:
f'(x)=3x^2-\frac{10}{3}x^{-1/3}.
Podemos reescrever x^{-1/3} como 1/\sqrt[3]{x}, obtendo outra forma equivalente:
f'(x)=3x^2-\frac{10}{3\,\sqrt[3]{x}}\qquad(x\neq 0).

Passo 6

Sobre x=0: atenção importante — a expressão \dfrac{10}{3}x^{-1/3} tem potência negativa que explode quando x\to 0. De fato, a derivada do termo x^{2/3} não existe em x=0 (a diferença de quocientes laterais diverge), logo f'(0) não existe. Portanto a fórmula anterior vale apenas para x\neq 0.

Resposta

\,x\neq 0:\;f'(x)=3x^2-\dfrac{10}{3}x^{-1/3}=\;3x^2-\dfrac{10}{3\,\sqrt[3]{x}}
f'(0) não existe

Exercícios relacionados