Determine f'(x):
f(x) = (x^2 + 1)(x^3 + 1)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x) = (x^2 + 1)(x^3 + 1) (peguei essa expressão do enunciado).
  • Pedido: determinar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras que usaremos.
Regra do produto (produto de duas funções): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u'=\dfrac{du}{dx} é a derivada de u e v'=\dfrac{dv}{dx} é a derivada de v. A regra diz: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
Regra da potência (para potências inteiras): para n inteiro não negativo,
\frac{d}{dx}\big(x^n\big)=n x^{n-1}.
Exemplos rápidos para fixar: \dfrac{d}{dx}(x^2)=2x, \dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2. A derivada de uma constante (por exemplo 1) é 0.

Passo 3

Identificar as duas funções no produto. Tome
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=x^3+1.
Agora calcule as derivadas de cada uma usando a regra da potência e a constante:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^2+1)=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^3+1)=\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(1)=3x^2+0=3x^2.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=2x\,(x^3+1)+(x^2+1)\,3x^2.
Agora expandir e simplificar passo a passo:
2x\,(x^3+1)=2x\cdot x^3 + 2x\cdot 1 = 2x^4 + 2x,
(x^2+1)\,3x^2 = 3x^2\cdot x^2 + 3x^2\cdot 1 = 3x^4 + 3x^2.
Somando as duas parcelas:
f'(x) = (2x^4 + 2x) + (3x^4 + 3x^2) = (2x^4+3x^4) + 3x^2 + 2x = 5x^4 + 3x^2 + 2x.

Passo 5

Verificação alternativa (expandir primeiro e derivar termo a termo). Expandir o produto inicial:
f(x)=(x^2+1)(x^3+1)=x^5 + x^3 + x^2 + 1.
Derivando termo a termo usando a regra da potência:
f'(x)=5x^4 + 3x^2 + 2x + 0 = 5x^4 + 3x^2 + 2x,
o mesmo resultado — conferido.

Passo 6

Forma factorizada (opcional): fator comum x:
f'(x)=x\big(5x^3 + 3x + 2\big).

Resposta

5x^4 + 3x^2 + 2x

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