Determine f'(x):
f(x) = \sin(x^2 + 1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada f'(x) da função dada. A função fornecida é (peguei isso da imagem enviada):
f(x)=\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto a única pergunta é: qual é f'(x)?

Passo 2

Identificar a estrutura da função (passo importante antes de calcular). A função é uma composição: há uma função externa g aplicada a uma função interna u. Vamos definir:
u(x)=x^{2}+1,\qquad g(t)=\sin t.
Assim f(x)=(g\circ u)(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Agora a ferramenta que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz que, para f(x)=g(u(x)),
(f)'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui g' é a derivada de g em relação à sua variável t, avaliada em t=u(x); e u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calcular a derivada da função externa g(t)=\sin t. A derivada da função seno em relação a t é
g'(t)=\cos t.
Isso significa que, ao aplicar a regra da cadeia, teremos g'\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x)=x^{2}+1. Usando a regra de potência e que derivada de constante é zero:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x.
Explicando rápido: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}; aqui n=2, então vem 2x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x.
Podemos escrever de forma mais usual:
f'(x)=2x\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 6

Pequeno reforço com exemplos rápidos (pra fixar e te dar confiança na prova):
  • Se h(x)=\sin(3x), então h'(x)=3\cos(3x) (a parte externa dá \cos, a interna 3).
  • Se k(x)=\sin(x^{2}), então k'(x)=2x\cos(x^{2}) (mesma ideia aqui, só que sem o +1).
Vai tranquilo: em provas, ao ver \sin(\text{algo}) sempre pensa “derivado do seno é cosseno vezes a derivada do ‘algo’”.

Resposta

f'(x)=2x\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)

Exercícios relacionados