Encontre vetores representativos do campo vetorial dado nos ponto indicados.
\mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{xz}^{3} \mathbf{i}+2 \mathrm{y}^{4} \mathrm{x}^{2} \mathbf{j}-5 \mathrm{zy}{ }^{2} \mathbf{k} \quad \mathrm{~B}(1,3,-2)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,z^{3}\,\mathbf{i}+2\,y^{4}\,x^{2}\,\mathbf{j}-5\,z\,y^{2}\,\mathbf{k}
e pede para encontrar o vetor correspondente em B(1,3,-2). O conteúdo aqui é simplesmente avaliar cada componente do campo no ponto dado.

Passo 2

Escrevemos cada componente de \mathbf{F} de forma explícita:
F_{x}(x,y,z)=x\,z^{3},\qquad F_{y}(x,y,z)=2\,y^{4}\,x^{2},\qquad F_{z}(x,y,z)=-5\,z\,y^{2}.

Passo 3

Substituímos (x,y,z)=(1,3,-2) em cada componente:
F_{x}(1,3,-2)=1\cdot(-2)^{3},\quad F_{y}(1,3,-2)=2\cdot3^{4}\cdot1^{2},\quad F_{z}(1,3,-2)=-5\cdot(-2)\cdot3^{2}.

Passo 4

Calculamos os valores numéricos:
(-2)^{3}=-8, \quad 2\cdot3^{4}=2\cdot81=162, \quad -5\cdot(-2)\cdot9=90.

Resposta

\mathbf{F}(1,3,-2)=-8\,\mathbf{i}+162\,\mathbf{j}+90\,\mathbf{k}.

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