Seja f(x, y)=e^{2 x} sen (y). Determine o indicado a seguir.
f_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = e^{2x}\sin(y)
e pede a derivada segunda mista f_{xy}. Vamos usar as regras de derivada parcial: primeiro derivamos em relação a x mantendo y constante, e depois derivamos o resultado em relação a y.

Passo 2

Calcular f_x. Como \sin(y) é constante em relação a x e \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, temos
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x}\sin(y)\bigr) = 2e^{2x}\sin(y).

Passo 3

Calcular f_{xy}. Agora derivamos f_x=2e^{2x}\sin(y) em relação a y. Aqui 2e^{2x} é constante e \frac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y), logo
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2e^{2x}\sin(y)\bigr) = 2e^{2x}\cos(y).

Resposta

f_{xy}(x,y) = 2e^{2x}\cos(y).

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