Verifique se
(isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais mistas de
satisfazem
o que é garantia do Teorema de Clairaut sempre que as derivadas de segunda ordem forem contínuas. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para calcular
,
,
e
.
Passo 2
Calcular
tratando
como constante e aplicando produto e cadeia:
Como
,
Passo 3
Agora
. Diferenciando termo a termo:
-
-
Somando,
Passo 4
Calcular
tratando
como constante:
Como
,
Passo 5
Agora
. Diferenciando:
-
-
Somando,
Passo 6
Comparando as expressões de
e
, vemos que são idênticas em todos os termos. Logo
confirmando a validade do Teorema de Clairaut.
Resposta
Sim. As derivadas parciais mistas coincidem:
.