Verifique se u_{x y}=u_{y x} (isto é, se o Teorema de Clairaut é válido).
u=x y \operatorname{sen}(2 x+3 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais mistas de
u(x,y)=x\,y\,\operatorname{sen}\bigl(2x+3y\bigr)
satisfazem
u_{xy}=u_{yx},
o que é garantia do Teorema de Clairaut sempre que as derivadas de segunda ordem forem contínuas. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para calcular u_x, u_{xy}, u_y e u_{yx}.

Passo 2

Calcular u_x tratando y como constante e aplicando produto e cadeia:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,\operatorname{sen}(2x+3y)\bigr) = y\,\operatorname{sen}(2x+3y) + x\,y\,\cos(2x+3y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+3y).
Como \frac{\partial}{\partial x}(2x+3y)=2,
u_x = y\,\operatorname{sen}(2x+3y) + 2\,x\,y\,\cos(2x+3y).

Passo 3

Agora u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_x). Diferenciando termo a termo:
  1. \frac{\partial}{\partial y}\bigl[y\,\operatorname{sen}(2x+3y)\bigr] = \operatorname{sen}(2x+3y) + y\,\cos(2x+3y)\cdot3.
  2. \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x\,y\,\cos(2x+3y)\bigr] = 2x\,\cos(2x+3y) + 2x\,y\,\bigl(-\sin(2x+3y)\bigr)\cdot3.
    Somando,
u_{xy} = \operatorname{sen}(2x+3y) + 3y\,\cos(2x+3y) + 2x\,\cos(2x+3y) -6x\,y\,\operatorname{sen}(2x+3y).

Passo 4

Calcular u_y tratando x como constante:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\,\operatorname{sen}(2x+3y)\bigr) = x\,\operatorname{sen}(2x+3y) + x\,y\,\cos(2x+3y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x+3y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=3,
u_y = x\,\operatorname{sen}(2x+3y) + 3\,x\,y\,\cos(2x+3y).

Passo 5

Agora u_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_y). Diferenciando:
  1. \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\,\operatorname{sen}(2x+3y)\bigr] = \operatorname{sen}(2x+3y) + x\,\cos(2x+3y)\cdot2.
  2. \frac{\partial}{\partial x}\bigl[3x\,y\,\cos(2x+3y)\bigr] = 3y\,\cos(2x+3y) + 3x\,y\,\bigl(-\sin(2x+3y)\bigr)\cdot2.
    Somando,
u_{yx} = \operatorname{sen}(2x+3y) + 2x\,\cos(2x+3y) + 3y\,\cos(2x+3y) -6x\,y\,\operatorname{sen}(2x+3y).

Passo 6

Comparando as expressões de u_{xy} e u_{yx}, vemos que são idênticas em todos os termos. Logo
u_{xy}=u_{yx},
confirmando a validade do Teorema de Clairaut.

Resposta

Sim. As derivadas parciais mistas coincidem: u_{xy}=u_{yx}.

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