Determine:
f_{y}(1,-1), onde f(x, y)=\operatorname{arctg}(x y).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de
f(x,y)=\arctan(xy)
em relação a y no ponto (1,-1). O conteúdo principal aqui é usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a função interna u(x,y)=xy. Então
f(x,y)=\arctan\bigl(u(x,y)\bigr).
Para obter \frac{\partial f}{\partial y}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+u^2}\cdot\bigl(x\bigr).
Como u=xy, temos
f_{y}(x,y) =\frac{x}{1+(xy)^2}.
Agora basta avaliar em (1,-1):
x=1,\quad xy=1\cdot(-1)=-1
f_{y}(1,-1) =\frac{1}{1+(-1)^2} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac12

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