Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{2+x y}{2 x^{2}+3 y^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede
calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{2 + x\,y}{2\,x^2 + 3\,y^3}.
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e uso da continuidade de polinômios e de quociente de funções contínuas.

Passo 2

Note que o numerador \;g(x,y)=2 + x\,y\;
e o denominador \;h(x,y)=2\,x^2 + 3\,y^3\;
são polinômios em (x,y). Pelo Teorema da continuidade de polinômios, g e h são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Em (x,y)=(1,2) temos
h(1,2)=2\cdot1^2+3\cdot2^3=2+24=26\neq0.
Como h(1,2)\neq0, o Teorema do quociente de funções contínuas garante que \frac{g}{h}
é contínua em (1,2) e, portanto,
\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{g(x,y)}{h(x,y)} =\frac{g(1,2)}{h(1,2)}.

Passo 4

Basta avaliar em (1,2):
g(1,2)=2+1\cdot2=4, \qquad h(1,2)=26,
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\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{2+x\,y}{2\,x^2+3\,y^3} =\frac{4}{26} =\frac{2}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{13}

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