Determine e faça o esboço do domínio da função:
j(x, y, z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
j(x,y,z)=\sqrt{4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}
ou seja, o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} em que o radicando é não-negativo. O conteúdo aqui é identificação de domínio em funções com raiz quadrada: precisamos impor
4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0.

Passo 2

Impondo a não-negatividade do que está dentro da raiz temos
4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0
que equivale a
x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4.

Passo 3

A desigualdade \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4\; descreve geometricamente a bola sólida (esfera preenchida) de raio 2 e centro na origem em \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Para esboçar esse domínio, desenhe os eixos x, y e z e uma esfera de raio 2 centrada na origem, preenchendo seu interior. Qualquer ponto dentro ou sobre a superfície dessa esfera pertence ao domínio de j.

Resposta

D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4\bigr\},
ou seja, a bola sólida de raio 2 centrada na origem.

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