Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(5,-2)}\left(x^{5}+4 x^{2} y^{2}+3 x y^{7}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}\bigl(x^{5}+4x^{2}y^{2}+3xy^{7}\bigr).
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e continu­idade de polinômios. Para resolver usamos dois resultados principais:
  1. Teorema das operações de limites (a soma e o produto de funções com limite existe e vale a soma e o produto dos limites).
  2. Teorema da potência (se \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}x=L, então \lim x^{n}=L^{n}).

Passo 2

Pelo Teorema das operações de limites, podemos separar:
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}\bigl(x^{5}+4x^{2}y^{2}+3xy^{7}\bigr) =\lim_{(x,y)\to(5,-2)}x^{5} +\lim_{(x,y)\to(5,-2)}4x^{2}y^{2} +\lim_{(x,y)\to(5,-2)}3xy^{7}.

Passo 3

Aplicando o Teorema da potência e o produto de limites:
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}x^{5} =\bigl(\lim_{(x,y)\to(5,-2)}x\bigr)^{5} =5^{5}=3125,
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}4x^{2}y^{2} =4\cdot\bigl(\lim x\bigr)^{2}\cdot\bigl(\lim y\bigr)^{2} =4\cdot5^{2}\cdot(-2)^{2} =4\cdot25\cdot4 =400.

Passo 4

Calculamos o terceiro termo usando que \lim y=-2:
\lim_{(x,y)\to(5,-2)}3xy^{7} =3\cdot\bigl(\lim x\bigr)\cdot\bigl(\lim y\bigr)^{7} =3\cdot5\cdot(-2)^{7} =15\cdot(-128) =-1920.

Passo 5

Agora somamos os resultados:
3125 + 400 + (-1920)=3125+400-1920=1605.
Logo o limite existe.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(5,-2)}\bigl(x^{5}+4x^{2}y^{2}+3xy^{7}\bigr)=1605.

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