Determine e faça o esboço do domínio da função:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função
. A matéria envolvida aqui são funções de duas variáveis, focando em encontrar o conjunto de pontos
onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar analisar as condições para que tanto a raiz quadrada quanto o logaritmo existam.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada:
. A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Ou seja:
Isso significa que
. Então, os pontos
no nosso domínio precisam satisfazer essa condição.
Passo 3
Agora, vamos analisar o logaritmo:
. O logaritmo natural só está definido para argumentos maiores que zero. Assim, temos:
Portanto, além de
, também precisamos que
.
Passo 4
Vamos resumir as duas condições que encontramos:
Essas duas desigualdades vão nos ajudar a determinar o domínio da função.
Passo 5
Para visualizar o domínio, vamos pensar no plano cartesiano:
- A linha
divide o plano em duas regiões. Nossa primeira condição corresponde à região acima dessa linha, incluindo a própria linha. - A inequação
representa a região acima da linha .
Então, o domínio da função é a interseção dessas duas regiões.
Passo 6
Fazendo um esboço rápido:
- Desenhe a linha
como uma reta de 45 graus passando pela origem. - Desenhe a linha
como uma reta de -45 graus também passando pela origem. - O domínio será a área que está acima de
e acima de .
Visualizando isso, o domínio é como uma “fatia” entre as duas retas onde ambas as condições são satisfeitas.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem:
Gráfico do domínio:
- A região acima da linha
. - E acima da linha
.
Isso forma uma área triangular no primeiro e segundo quadrantes onde as duas condições se sobrepõem.