Determine e faça o esboço do domínio da função:
d) f(x, y)=raizy-x ln (y+x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . A matéria envolvida aqui são funções de duas variáveis, focando em encontrar o conjunto de pontos onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar analisar as condições para que tanto a raiz quadrada quanto o logaritmo existam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: y - x >= 0 . A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Ou seja:
Isso significa que . Então, os pontos no nosso domínio precisam satisfazer essa condição.

Passo 3

Agora, vamos analisar o logaritmo: y + x > 0 . O logaritmo natural só está definido para argumentos maiores que zero. Assim, temos:
Portanto, além de , também precisamos que .

Passo 4

Vamos resumir as duas condições que encontramos:
Essas duas desigualdades vão nos ajudar a determinar o domínio da função.

Passo 5

Para visualizar o domínio, vamos pensar no plano cartesiano:
  • A linha divide o plano em duas regiões. Nossa primeira condição corresponde à região acima dessa linha, incluindo a própria linha.
  • A inequação representa a região acima da linha .
Então, o domínio da função é a interseção dessas duas regiões.

Passo 6

Fazendo um esboço rápido:
  • Desenhe a linha como uma reta de 45 graus passando pela origem.
  • Desenhe a linha como uma reta de -45 graus também passando pela origem.
  • O domínio será a área que está acima de e acima de .
Visualizando isso, o domínio é como uma “fatia” entre as duas retas onde ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

O domínio da função y >= x e y + x > 0 é o conjunto de todos os pontos que satisfazem:
Gráfico do domínio:
  • A região acima da linha .
  • E acima da linha .
Isso forma uma área triangular no primeiro e segundo quadrantes onde as duas condições se sobrepõem.

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