Resolva as seguintes inequações e escreva a solução usando a notação de intervalo e graficamente:
1x-20 <= 112-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Essa questão está relacionada ao conteúdo de Inequações Racionais. Para resolver, a gente vai precisar manipular frações e analisar os intervalos onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa inequação. Queremos encontrar todos os valores de que fazem com que seja menor ou igual a .

Passo 3

Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraímos 1x-20 - 112-x <= 0 de ambos os lados:

Passo 4

Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 12 - x(x-20)(12-x) - x - 20(x-20)(12-x) <= 0 e é . Reescrevendo as frações:

Passo 5

Agora, fazemos a subtração dos numeradores:
12 - x - (x - 20)(x-20)(12-x) <= 0
Simplificando o numerador:
12 - x - x + 20 = 32 - 2x
Então, a inequação fica:
32 - 2x(x-20)(12-x) <= 0

Passo 6

Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 2:
16 - x(x-20)(12-x) <= 0
Ou reescrevendo:
-(x - 16)(x-20)(12-x) <= 0
Para facilitar, podemos multiplicar numerador e denominador por -1, lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a inequação inverte o sinal:
x - 16(x-20)(x - 12) >= 0

Passo 7

Agora, temos a inequação x - 16 = 0 Rightarrow x = 16 . Para resolver, vamos identificar os valores críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são zero:
x - 20 = 0 Rightarrow x = 20
x - 12 = 0 Rightarrow x = 12

Passo 8

Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos: , , e . Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da expressão .

Passo 9

Escolha um valor de teste em cada intervalo:
  • Para 10 - 16(10-20)(10 - 12) = -6(-10)(-2) = -620 < 0 , por exemplo, 14 - 16(14-20)(14 - 12) = -2(-6)(2) = -2-12 > 0 : 18 - 16(18-20)(18 - 12) = 2(-2)(6) = 2-12 < 0
  • Para 22 - 16(22-20)(22 - 12) = 6(2)(10) = 620 > 0 , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :

Passo 10

Agora, vamos analisar onde a expressão é maior ou igual a zero:
  • : positivo
  • : positivo
    Também precisamos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero:

  • E lembrar que não pode ser 12 ou 20, pois o denominador se anula nesses pontos, tornando a expressão indefinida.

Passo 11

Portanto, a solução da inequação é:
12 < x <= 16 ou x > 20
Usando a notação de intervalo:
(12, 16] cup (20, +infty)

Resposta

A solução da inequação é . Graficamente, representa dois intervalos na reta numérica, um entre 12 e 16 (incluindo 16) e outro a partir de 20 até o infinito.

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