Resolva as seguintes inequações e escreva a solução usando a notação de intervalo e graficamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Essa questão está relacionada ao conteúdo de Inequações Racionais. Para resolver, a gente vai precisar manipular frações e analisar os intervalos onde a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa inequação. Queremos encontrar todos os valores de
que fazem com que
seja menor ou igual a
.
Passo 3
Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre
e
é
. Reescrevendo as frações:
Passo 5
Agora, fazemos a subtração dos numeradores:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 2:
Ou reescrevendo:
Para facilitar, podemos multiplicar numerador e denominador por -1, lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a inequação inverte o sinal:
Passo 7
Agora, temos a inequação
. Para resolver, vamos identificar os valores críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são zero:
Passo 8
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos:
,
,
e
. Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da expressão
.
Passo 9
Escolha um valor de teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, : - Para
, por exemplo, : - Para
, por exemplo, : - Para
, por exemplo, :
Passo 10
Agora, vamos analisar onde a expressão é maior ou igual a zero:
-
: positivo -
: positivo
Também precisamos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero: -
E lembrar quenão pode ser 12 ou 20, pois o denominador se anula nesses pontos, tornando a expressão indefinida.
Passo 11
Portanto, a solução da inequação é:
Usando a notação de intervalo:
Resposta
A solução da inequação é
. Graficamente, representa dois intervalos na reta numérica, um entre 12 e 16 (incluindo 16) e outro a partir de 20 até o infinito.