Fatore e estude o sinal do polinômio: 3 x^2+x-2.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar e estudar o sinal do polinômio de segundo grau P(x)=3x^2+x-2. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo do discriminante, fórmula de Bhaskara para achar as raízes, fatoração em produto de fatores lineares e aplicação da regra de sinais.

Passo 2

Para resolver P(x)=0, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos primeiro o discriminante:
De
Como De0, há duas raízes reais dadas por
x = -b pm raizDe
Portanto,
x1 = -1, x2 = 23

Passo 3

Sabendo as raízes, escrevemos o polinômio como produto de fatores lineares. Em geral, para ax^2+bx+c com raízes x1,x2, temos a(x-x1)(x-x2). Aqui isso dá
P(x) = 3,(x - (-1))l(x - tfrac23r) = 3(x+1)l(x-tfrac23r)
Reagrupando para não deixar fração dentro do fator, obtemos
P(x) = (x+1)(3x-2)

Passo 4

Com a forma fatorada P(x)=(x+1)(3x-2), fazemos o estudo de sinal. Cada fator muda de sinal em sua raiz:
  • Para x+1: zero em x=-1, negativo à esquerda e positivo à direita.
  • Para 3x-2: zero em x=2/3, negativo à esquerda e positivo à direita.
    Combinando os sinais, concluímos:
  • P(x)>0 se ambos os fatores têm o mesmo sinal, ou seja, em x< -1 e em x>2/3.
  • P(x)<0 se os fatores têm sinais opostos, isto é, em -1< x<2/3.
  • P(x)=0 exatamente nos pontos x=-1 e x=2/3.

Resposta

Fatoração: P(x)=(x+1)(3x-2).
Sinal:
P(x)>0 para x< -1 e x>2/3.
P(x)=0 em x=-1 e x=2/3.
P(x)<0 para -1.

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