Fatore e estude o sinal do polinômio:
.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar e estudar o sinal do polinômio de segundo grau
. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo do discriminante, fórmula de Bhaskara para achar as raízes, fatoração em produto de fatores lineares e aplicação da regra de sinais.
Passo 2
Para resolver
, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Calculamos primeiro o discriminante:
Como
, há duas raízes reais dadas por
Portanto,
Passo 3
Sabendo as raízes, escrevemos o polinômio como produto de fatores lineares. Em geral, para
com raízes
, temos
. Aqui isso dá
Reagrupando para não deixar fração dentro do fator, obtemos
Passo 4
Com a forma fatorada
, fazemos o estudo de sinal. Cada fator muda de sinal em sua raiz:
- Para
: zero em , negativo à esquerda e positivo à direita. - Para
: zero em , negativo à esquerda e positivo à direita.
Combinando os sinais, concluímos: -
se ambos os fatores têm o mesmo sinal, ou seja, em e em . -
se os fatores têm sinais opostos, isto é, em . -
exatamente nos pontos e .
Resposta
Fatoração:
.
Sinal:
• para
e
.
• em
e
.
• para
.
Sinal:
•
•
•