Nos itens abaixo, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado:
z=4 x^2+y^2 em(1,1,5)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a equação do plano tangente à superfície z = 4x^2 + y^2 no ponto (1,1,5). O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e uso da fórmula do plano tangente, que descreve a aproximação linear da superfície ao redor de um ponto.

Passo 2

Para aplicar a fórmula do plano tangente, precisamos das derivadas parciais de f(x,y)=4x^2+y^2. Calculando:
partial fpartial x(x,y)=8x,
partial fpartial y(x,y)=2y

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x0,y0)=(1,1):
partial fpartial x(1,1)=8cdot1=8,
partial fpartial y(1,1)=2cdot1=2

Passo 4

Com os valores de fx(1,1)=8 e fy(1,1)=2, aplicamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,5) e os coeficientes encontrados, temos:
z - 5 = 8(x - 1) + 2(y - 1)

Resposta

z - 5 = 8(x - 1) + 2(y - 1)

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