Determine e faça o esboço do domínio da função
f(x, y, z)=\ln \left(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(1 - x^2 - y^2 - z^2\bigr)
e pede para encontrar o domínio (todos os pontos (x,y,z) onde f está bem definida) e fazer o esboço desse domínio. Para isso, vamos usar a propriedade básica de que o logaritmo natural só aceita argumentos positivos.

Passo 2

Determinar a condição de existência do logaritmo. Como \ln(u) está definido apenas se u>0,
no nosso caso precisamos de
1 - x^2 - y^2 - z^2 > 0.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade, obtemos
x^2 + y^2 + z^2 < 1.
Isto significa que todos os pontos (x,y,z) cuja soma dos quadrados das coordenadas seja estritamente menor que 1 fazem parte do domínio.

Passo 4

Interpretando geometricamente, a condição x^2 + y^2 + z^2 < 1 descreve a bola aberta de raio 1 centrada na origem em \mathbb{R}^3. Ou seja, todos os pontos no interior de uma esfera de raio 1, sem incluir a superfície.

Resposta

O domínio de f é
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 < 1\bigr\},
isto é, a bola aberta de raio 1 centrada na origem.

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