Descreva e esboce o gráfico da função f.
f(x, y)=4 x^{2}+y^{2}+1.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=4x^2+y^2+1.
O conteúdo aqui é o estudo de superfícies quádricas em três dimensões, em particular o paraboloide elíptico. Para entender e esboçar o gráfico, vamos (i) achar o mínimo e o vértice, (ii) analisar curvas de nível, (iii) ver seções planas, e então (iv) descrever a forma geral.

Passo 2

Para encontrar o valor mínimo de f, note que 4x^2\ge0 e y^2\ge0 para todo (x,y). Logo
f(x,y)\ge 0+0+1=1,
com igualdade exatamente em (x,y)=(0,0). Portanto o valor mínimo é f(0,0)=1 e o vértice da superfície está em (0,0,1).

Passo 3

As curvas de nível de valor c vêm da equação
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2+y^2+1=c \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2+y^2=c-1.
  • Se c=1, então 4x^2+y^2=0, que só admite a solução (x,y)=(0,0).
  • Se c>1, então 4x^2+y^2=c-1 é uma elipse centrada na origem, cujos eixos têm semieixos \sqrt{(c-1)/4} em x e \sqrt{c-1} em y.
Isso mostra que, conforme z cresce acima de 1, as curvas de nível são elipses cada vez maiores.

Passo 4

Examinando seções por planos coordenados:
  • Para y=0, a seção é
z = f(x,0) = 4x^2+1,
uma parábola no plano xz com vértice em (0,1).
  • Para x=0, a seção é
z = f(0,y) = y^2+1,
outra parábola no plano yz com vértice em (0,1).
Em qualquer plano que passe pela reta x=0,y=0, teremos parábolas semelhantes.

Passo 5

Com curvas de nível elípticas e seções parabólicas cujo vértice está em z=1 e a superfície abre para cima, concluímos que o gráfico de f é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1). A curvatura em x é mais acentuada (fator 4) do que em y (fator 1), fazendo o “bowl” mais estreito ao longo do eixo x.

Passo 6

Esboço qualitativo do paraboloide elíptico:
  • Marque o ponto (0,0,1) como vértice.
  • Trace acima dele elipses concêntricas crescendo em x e y, com semieixos menores na direção x.
  • Desenhe linhas parabólicas nos planos y=0 e x=0.
z

← elipses concêntricas
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____________\────────── y
(0,0,1)


x

Resposta

O gráfico de f(x,y)=4x^2+y^2+1 é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1), aberto para cima, cujas curvas de nível f(x,y)=c>1 são elipses de equação 4x^2+y^2=c-1.

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