Descreva e esboce o gráfico da função
.
.
Passo 1
O enunciado define a função
O conteúdo aqui é o estudo de superfícies quádricas em três dimensões, em particular o paraboloide elíptico. Para entender e esboçar o gráfico, vamos (i) achar o mínimo e o vértice, (ii) analisar curvas de nível, (iii) ver seções planas, e então (iv) descrever a forma geral.
Passo 2
Para encontrar o valor mínimo de
, note que
e
para todo
. Logo
com igualdade exatamente em
. Portanto o valor mínimo é
e o vértice da superfície está em
.
Passo 3
As curvas de nível de valor
vêm da equação
- Se
, então , que só admite a solução . - Se
, então é uma elipse centrada na origem, cujos eixos têm semieixos em e em .
Isso mostra que, conforme
cresce acima de
, as curvas de nível são elipses cada vez maiores.
Passo 4
Examinando seções por planos coordenados:
- Para
, a seção é
uma parábola no plano
com vértice em
.
- Para
, a seção é
outra parábola no plano
com vértice em
.
Em qualquer plano que passe pela reta
, teremos parábolas semelhantes.
Passo 5
Com curvas de nível elípticas e seções parabólicas cujo vértice está em
e a superfície abre para cima, concluímos que o gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
. A curvatura em
é mais acentuada (fator 4) do que em
(fator 1), fazendo o “bowl” mais estreito ao longo do eixo
.
Passo 6
Esboço qualitativo do paraboloide elíptico:
- Marque o ponto
como vértice. - Trace acima dele elipses concêntricas crescendo em
e , com semieixos menores na direção . - Desenhe linhas parabólicas nos planos
e .
z
│
│ ← elipses concêntricas
│ /
│ /
│ /
│ /
│ /
│/____________\────────── y
(0,0,1)
x
│
│ ← elipses concêntricas
│ /
│ /
│ /
│ /
│ /
│/____________\────────── y
(0,0,1)
x
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
, aberto para cima, cujas curvas de nível
são elipses de equação
.