Esboce a curva de nível z=k com os valores especificados de k.
z=\sqrt{x+y} ; k=0,1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos e esboçarmos as curvas de nível da superfície z = \sqrt{x + y} para os valores k = 0,1,2,3. O conteúdo é curvas de nível de funções de duas variáveis e vamos precisar resolver a equação \sqrt{x+y}=k
e interpretar geometricamente o resultado no plano (x,y).

Passo 2

Para uma curva de nível z=k resolvemos
\sqrt{x+y} = k.
Como temos uma raiz, exigimos x+y\ge0. Elevando ao quadrado, obtemos
x + y = k^2,
que são retas no plano (x,y) com inclinação -1 e intercepto no eixo y igual a k^2.

Passo 3

Verificamos a restrição do domínio:
x + y = k^2 \ge 0
é sempre satisfeita para k=0,1,2,3. Portanto, cada curva de nível é simplesmente a reta inteira
y = -\,x + k^2,
mas lembrando que a função original só está definida em x+y\ge0. Na prática isso não corta trechos das retas, pois em cada reta x+y=k^2\ge0.

Passo 4

Geometricamente, todas as curvas de nível são retas paralelas, de declive -1. À medida que k cresce, elas se deslocam para cima no plano, pois o intercepto k^2 aumenta.

Passo 5

Para esboçar, trace no plano (x,y) quatro retas paralelas:
  • para k=0, reta passa pela origem com y=-x,
  • para k=1, reta y=-x+1,
  • para k=2, reta y=-x+4,
  • para k=3, reta y=-x+9.

Resposta

k=0:\;y=-x k=1:\;y=-x+1 k=2:\;y=-x+4 k=3:\;y=-x+9

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