Descreva e esboce o gráfico da função f.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar o gráfico da função
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.
O conteúdo envolve superfícies em \mathbb{R}^3, simetria radial e uso de coordenadas cilíndricas para entender a forma da superfície.

Passo 2

Primeiro, determinamos domínio e imagem de f:
– O domínio é todo o plano, pois x^2+y^2\ge0 para quaisquer x,y. Logo
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.
– A raiz quadrada produz somente valores não negativos, então
\operatorname{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 3

Interpretação geométrica: para cada ponto (x,y) no plano, f(x,y) é a distância desse ponto até a origem (0,0). Assim, os conjuntos de nível
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}
são círculos de raio c centrados na origem. Isso indica simetria radial: a superfície resultante é a mesma em todas as direções ao redor do eixo z.

Passo 4

O gráfico de f em \mathbb{R}^3 é
\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\} = \{(x,y,z)\mid z=\sqrt{x^2+y^2},\;z\ge0\}.
Elevando ao quadrado, obtemos
z^2 = x^2+y^2,\quad z\ge0,
que é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ entre cada geratriz e o eixo z.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Corte pela reta y=0: reduz a z=|x|, um “V” no plano xz.
  2. Corte pela reta x=0: reduz a z=|y|, um “V” no plano yz.
  3. Revolvendo esse “V” em torno do eixo z, forma-se um cone circular.
Desenhe o eixo z vertical, o plano xy horizontal e trace duas geratrizes que formam 45^\circ com o eixo z, girando-as em torno de z.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} é um cone circular reto de vértice na origem, apontando para cima, com semi-ângulo de 45^\circ.

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