Descreva e esboce o gráfico da função
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolve superfícies em
, simetria radial e uso de coordenadas cilíndricas para entender a forma da superfície.
Passo 2
Primeiro, determinamos domínio e imagem de
:
– O domínio é todo o plano, pois para quaisquer
. Logo
– O domínio é todo o plano, pois
– A raiz quadrada produz somente valores não negativos, então
Passo 3
Interpretação geométrica: para cada ponto
no plano,
é a distância desse ponto até a origem
. Assim, os conjuntos de nível
são círculos de raio
centrados na origem. Isso indica simetria radial: a superfície resultante é a mesma em todas as direções ao redor do eixo
.
Passo 4
O gráfico de
em
é
Elevando ao quadrado, obtemos
que é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e semi-ângulo de
entre cada geratriz e o eixo
.
Passo 5
Para esboçar:
- Corte pela reta
: reduz a , um “V” no plano . - Corte pela reta
: reduz a , um “V” no plano . - Revolvendo esse “V” em torno do eixo
, forma-se um cone circular.
Desenhe o eixo
vertical, o plano
horizontal e trace duas geratrizes que formam
com o eixo
, girando-as em torno de
.
Resposta
O gráfico de
é um cone circular reto de vértice na origem, apontando para cima, com semi-ângulo de
.