Determine
f_{x y z}(1,1,1), onde f(x, y, z)=\ln \left(3 x^{3}+4 y^{4}+5 z^{5}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(3x^{3}+4y^{4}+5z^{5}\bigr)
e pede a derivada mista de terceira ordem \displaystyle f_{xyz}(1,1,1).
O conteúdo necessário é o cálculo de derivadas parciais sucessivas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos a parcial em relação a x. Definindo
U(x,y,z)=3x^{3}+4y^{4}+5z^{5},
temos
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\ln U = \frac{1}{U}\,\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{U}\cdot 9x^{2} = \frac{9x^{2}}{U}.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{9x^{2}}{U}\Bigr) = 9x^{2}\cdot \bigl(-1\bigr)\,U^{-2}\,\frac{\partial U}{\partial y} = -9x^{2}\,U^{-2}\cdot 16y^{3} = -\frac{144\,x^{2}y^{3}}{U^{2}}.

Passo 4

Finalmente derivamos f_{xy} em relação a z:
f_{xyz} = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-144\,x^{2}y^{3}U^{-2}\Bigr) = -144\,x^{2}y^{3}\cdot(-2)\,U^{-3}\,\frac{\partial U}{\partial z} = 288\,x^{2}y^{3}\,U^{-3}\cdot 25z^{4} = \frac{7200\,x^{2}y^{3}z^{4}}{U^{3}}.
Em (1,1,1) temos U(1,1,1)=3+4+5=12. Logo,
f_{xyz}(1,1,1) = \frac{7200\cdot 1^{2}\cdot1^{3}\cdot1^{4}}{12^{3}} = \frac{7200}{1728} = \frac{25}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{6}

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