Determine:
f_{x x y}(0,1,0), onde f(x, y, z)=x y z-5 x^{2} y^{3} z^{4}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de terceira ordem
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\,\partial y}(0,1,0),
onde
f(x,y,z)=x\,y\,z \;-\;5\,x^{2}\,y^{3}\,z^{4}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais sucessivas de uma função polinomial. Como f é polinomial, suas derivadas mistas de qualquer ordem são contínuas e comutam de ordem (teorema de Schwarz).

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x:
\partial_x f(x,y,z) =\partial_x\bigl(x\,y\,z\bigr) -\partial_x\bigl(5\,x^{2}\,y^{3}\,z^{4}\bigr) =y\,z \;-\;10\,x\,y^{3}\,z^{4}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial em relação a x:
\partial_x^2 f(x,y,z) =\partial_x\bigl(y\,z -10\,x\,y^{3}\,z^{4}\bigr) =0 \;-\;10\,y^{3}\,z^{4} =-10\,y^{3}\,z^{4}.

Passo 4

Calcular a terceira derivada, agora em relação a y:
\partial_y\bigl(\partial_x^2 f(x,y,z)\bigr) =\partial_y\bigl(-10\,y^{3}\,z^{4}\bigr) =-30\,y^{2}\,z^{4}.

Passo 5

Avaliar em (x,y,z)=(0,1,0):
\bigl.-30\,y^{2}\,z^{4}\bigr|_{(0,1,0)} =-30\cdot1^{2}\cdot0^{4} =0.

Resposta

0

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