Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo: h(x, y)=ln (1-x^2-y)raizy+1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o domínio da função de duas variáveis
h(x,y)=dfraclnl(1 - x^2 - yr)raizy + 1 - x^2 e esboçar esse domínio. Vamos precisar das condições de existência do logaritmo (argumento positivo) e da raiz (radicando positivo e diferente de zero, já que aparece no denominador).

Passo 2

Precisamos que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
1 - x^2 - y > 0
Isto é equivalente a
y < 1 - x^2

Passo 3

Também precisamos que o radicando da raiz seja estritamente positivo (para evitar divisão por zero e manter a raiz real):
y + 1 - x^2 > 0
Ou seja
y > x^2 - 1

Passo 4

Agora combinamos as duas desigualdades e obtemos
x^2 - 1 < y < 1 - x^2

Passo 5

Para que exista intervalo não vazio em y, é preciso ainda que
x^2 - 1 < 1 - x^2 ; Longrightarrow; 2x^2 < 2 ; Longrightarrow; x^2 < 1 ; Longrightarrow; -1 < x < 1
Logo o domínio é o conjunto de pontos (x,y) tais que
e
.

Passo 6

Para esboçar, imagine no plano (x,y) as duas parábolas
y = 1 - x^2 (para cima virada para baixo) e
y = x^2 - 1 (para baixo virada para cima). O domínio é a região aberta entre elas, limitada lateralmente por x=-1 e x=1.

Resposta

O domínio é
D = (x,y)inR^2 : -1 < x < 1,; x^2 - 1 < y < 1 - x^2

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