Calcule os limites. Use preferencialmente o limite fundamental lim x 0 sen(x)x=1.
lim x 0 1-cos (x)x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto01-cos(x)x^2. Esse limite faz parte do conteúdo de limites em cálculo diferencial e vamos usar o limite fundamental limuto0sin(u)u=1 e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

A identidade trigonométrica que conecta cosseno e seno é 1-cos(x)=2sin^2l(tfracx2r). Substituindo no numerador, temos:
Reescrevendo a expressão com essa identidade, fica
1-cos(x)x^2=2sin^2l(tfracx2r)x^2

Passo 3

Agora, para usar o limite limuto0sin(u)u=1, note que sinl(tfracx2r)=l(tfracx2r)cdotsin(tfracx2)tfracx2. Então:
2sin^2(tfracx2)x^2=2(sin(tfracx2)tfracx2)^2(x2cdot1x)^2=2(sin(tfracx2)tfracx2)^214

Passo 4

Quando xto0, temos tfracx2to0 e sin(tfracx2)tfracx2to1. Portanto
limxto01-cos(x)x^2=2cdot1^2cdot14=12

Resposta

tfrac12

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