f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{5}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 3, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(b) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(-3,2)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(c) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) f é contínua em (-3,2) ? Justifique.
e pede limites em (0,0) e em (-3,2), além de verificar continuidade nesses pontos. Para resolver, vamos usar fatoração no numerador para simplificar f fora da origem e depois comparar limites com os valores dados.
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos
x^{5}+x\,y^{2}=x\bigl(x^{4}+y^{2}\bigr),
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f(x,y)=\frac{x\,(x^{4}+y^{2})}{x^{4}+y^{2}}=x.
Portanto, sempre que (x,y)\neq(0,0), f(x,y)=x.
Passo 3
Para o limite em (0,0), como para todo ponto diferente da origem vale f(x,y)=x, temos