Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{5}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 3, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(b) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(-3,2)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(c) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) f é contínua em (-3,2) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{5}+x\,y^{2}}{x^{4}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 3,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede limites em (0,0) e em (-3,2), além de verificar continuidade nesses pontos. Para resolver, vamos usar fatoração no numerador para simplificar f fora da origem e depois comparar limites com os valores dados.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos
x^{5}+x\,y^{2}=x\bigl(x^{4}+y^{2}\bigr),
logo
f(x,y)=\frac{x\,(x^{4}+y^{2})}{x^{4}+y^{2}}=x.
Portanto, sempre que (x,y)\neq(0,0), f(x,y)=x.

Passo 3

Para o limite em (0,0), como para todo ponto diferente da origem vale f(x,y)=x, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}x =0.

Passo 4

Para o limite em (-3,2), novamente f(x,y)=x nas vizinhanças de (-3,2), logo
\lim_{(x,y)\to(-3,2)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(-3,2)}x =-3.
Note que f(-3,2), pelo ramo (x,y)\neq(0,0), também é -3.

Passo 5

A continuidade em um ponto exige que o limite coincida com o valor da função nesse ponto.
  • Em (0,0): \lim f=0 mas f(0,0)=3, logo não é contínua.
  • Em (-3,2): \lim f=-3 e f(-3,2)=-3, logo é contínua.

Resposta

(a) \displaystyle0
(b) \displaystyle -3
(c) Não, porque \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\neq f(0,0)=3.
(d) Sim, porque \lim_{(x,y)\to(-3,2)}f(x,y)=-3=f(-3,2).

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