Determine se o limite existe ou não, e calcule o valor no caso de existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{4}-y^{4}\right)}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin\bigl(x^4 - y^4\bigr)}{x^2 - y^2}.
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis, e vamos usar fatoração de diferença de potências e o limite conhecido
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Note que
x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)\,(x^2 + y^2).
Logo podemos reescrever a expressão como
\frac{\sin\bigl(x^4 - y^4\bigr)}{x^2 - y^2} = \frac{\sin\bigl((x^2 - y^2)(x^2 + y^2)\bigr)}{x^2 - y^2}.

Passo 3

Defina
t = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2).
Então a expressão vira
\frac{\sin t}{x^2 - y^2} = \frac{\sin t}{t}\;(x^2 + y^2).
Quando (x,y)\to(0,0), temos t\to0 e, pelo limite padrão, \sin t / t \to 1.

Passo 4

Com isso
\frac{\sin t}{t}\;(x^2 + y^2)\;\longrightarrow\;1\cdot (x^2 + y^2) \;\longrightarrow\;0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados