Determine se a equação diferencial dada é:
\left(x x^{2}+3 y^{2}\right) d y-2 x d x=0

Passo 1

O enunciado nos fornece a equação diferencial
\left(x x^{2}+3 y^{2}\right)\,dy-2 x\,dx=0.
Informações extraídas (pegando o termo x x^{2} como x^{3}):
  • A equação é (x^{3}+3y^{2})\,dy-2x\,dx=0.
O que é pedido:
  • Determinar de que tipo é a equação diferencial (por exemplo: separável, exata, homogênea, linear, Bernoulli, se possui fator integrante apenas em x ou apenas em y, etc.).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Reescrevendo:
-2x\,dx + (x^{3}+3y^{2})\,dy = 0.
Assim definimos
M(x,y) = -2x,\qquad N(x,y)=x^{3}+3y^{2}.
Vou usar essas funções para testar os tipos mais comuns (separável, linear em y, homogênea, exata) — explicando cada teste e mostrando o cálculo.

Passo 3

Teste de separabilidade.
  • Uma EDO é separável se pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx, i.e. se dy/dx é produto de função de x por função de y.
  • A partir da equação temos
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{3}+3y^{2}}.
Esta expressão não se separa em produto A(x)\cdot B(y) porque o denominador mistura soma de funções de x e de y. Ou seja, não existe decomposição \dfrac{2x}{x^{3}+3y^{2}}=A(x)B(y) válida para todos x,y.
Portanto: a equação NÃO é separável.

Passo 4

Teste de linearidade em y (forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x) ou, se for linear em x, testar para dx/dy).
  • A forma que obtivemos é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^{3}+3y^{2}}. Não é da forma a(x)\,y + b(x) nem da forma a(x)y^{n} que caracterizaria Bernoulli. Há um termo y^{2} somado a x^{3} no denominador, que impede linearidade em y.
    Portanto: não é uma equação linear em y. Tampouco é Bernoulli na forma usual.

Passo 5

Teste de homogeneidade.
  • Uma EDO é homogênea (por exemplo na forma dy/dx = F(y/x)) se M e N são funções homogêneas de mesmo grau, isto é, M(tx,ty)=t^{k}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{k}N(x,y) com o mesmo k.
  • Aqui M(x,y)=-2x é homogênea de grau 1 (porque M(tx,ty)=-2(tx)=t(-2x)).
    N(x,y)=x^{3}+3y^{2} é soma de termos de grau 3 e 2, logo NÃO é homogênea de um único grau.
    Portanto: a equação NÃO é homogênea.

Passo 6

Teste de exatidão (é um teste muito usado).
  • Para M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 a equação é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}.
  • Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+3y^{2})=3x^{2}.
  • Como 0 \neq 3x^{2} em geral, as derivadas parciais são diferentes, logo a equação NÃO é exata.
Vou explicar o porquê desse teste: se existisse uma função \Phi(x,y) tal que d\Phi = M\,dx+N\,dy, então necessariamente \Phi_x=M e \Phi_y=N, e cruzando derivadas chega-se à condição de exatidão acima.

Passo 7

Teste de existência de fator integrante dependente só de x ou só de y.
  • Para um fator integrante \mu(x) que depende só de x, uma condição prática é que
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
deva ser função apenas de x.
  • Calcular:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0-3x^{2}=-3x^{2},
então
\frac{\,\partial M/\partial y - \partial N/\partial x\,}{N}=\frac{-3x^{2}}{x^{3}+3y^{2}},
que depende de y. Logo NÃO existe fator integrante que seja função somente de x.
  • Para um fator integrante \mu(y) que depende só de y, a condição prática é que
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
deva ser função apenas de y.
  • Calcular:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}-0=3x^{2},
então
\frac{\,\partial N/\partial x - \partial M/\partial y\,}{M}=\frac{3x^{2}}{-2x}=-\frac{3}{2}x,
que depende de x. Logo NÃO existe fator integrante que seja função somente de y.
Explicação curta: quando esses quocientes resultam em funções puramente de x ou puramente de y, integrais simples permitem obter \mu(x) ou \mu(y). Aqui nenhum dos quocientes é dependente de apenas uma variável, então não há fator integrante puramente em x nem puramente em y.

Passo 8

Resumo dos resultados (passo a passo do raciocínio didático):
  • Não é separável (porque dy/dx=2x/(x^{3}+3y^{2}) não se decompõe em A(x)B(y)).
  • Não é linear em y nem da forma de Bernoulli clássica.
  • Não é homogênea (porque N contém termos de graus diferentes).
  • Não é exata (porque \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x).
  • Não admite fator integrante que dependa somente de x nem somente de y (os testes mostram dependência mista).
Observação de estratégia: isso significa que a equação não pertence a nenhuma das classes elementares simples. Para resolvê-la pode ser necessário buscar um fator integrante dependente de combinação de x e y (por exemplo x^{a}y^{b} com cálculo explícito), tentar uma substituição sofisticada, ou tratar x como função de y e procurar transformações (às vezes x\mapsto u(y) ou vice-versa) — mas esses caminhos são mais avançados e não garantem solução fechada simples.

Resposta

A equação não é separável; não é linear; não é homogênea; não é exata; e não admite fator integrante que dependa apenas de x nem apenas de y. Portanto, não pertence a nenhuma das classes elementares simples testadas.

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