Determine se a equação diferencial dada é:
\left(x x^{2}+3 y^{2}\right) d y-2 x d x=0
\left(x x^{2}+3 y^{2}\right) d y-2 x d x=0
Passo 1
O enunciado nos fornece a equação diferencial
Informações extraídas (pegando o termo
como
):
- A equação é
.
O que é pedido:
- Determinar de que tipo é a equação diferencial (por exemplo: separável, exata, homogênea, linear, Bernoulli, se possui fator integrante apenas em
ou apenas em , etc.).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. Reescrevendo:
Assim definimos
Vou usar essas funções para testar os tipos mais comuns (separável, linear em
, homogênea, exata) — explicando cada teste e mostrando o cálculo.
Passo 3
Teste de separabilidade.
- Uma EDO é separável se pode ser escrita como
, i.e. se é produto de função de por função de . - A partir da equação temos
Esta expressão não se separa em produto
porque o denominador mistura soma de funções de
e de
. Ou seja, não existe decomposição
válida para todos
.
Portanto: a equação NÃO é separável.
Portanto: a equação NÃO é separável.
Passo 4
Teste de linearidade em
(forma
ou, se for linear em
, testar para
).
- A forma que obtivemos é
. Não é da forma nem da forma que caracterizaria Bernoulli. Há um termo somado a no denominador, que impede linearidade em .
Portanto: não é uma equação linear em. Tampouco é Bernoulli na forma usual.
Passo 5
Teste de homogeneidade.
- Uma EDO é homogênea (por exemplo na forma
) se e são funções homogêneas de mesmo grau, isto é, e com o mesmo . - Aqui
é homogênea de grau (porque ).
Jáé soma de termos de grau e , logo NÃO é homogênea de um único grau.
Portanto: a equação NÃO é homogênea.
Passo 6
Teste de exatidão (é um teste muito usado).
- Para
a equação é exata se . - Calcular as derivadas parciais:
- Como
em geral, as derivadas parciais são diferentes, logo a equação NÃO é exata.
Vou explicar o porquê desse teste: se existisse uma função
tal que
, então necessariamente
e
, e cruzando derivadas chega-se à condição de exatidão acima.
Passo 7
Teste de existência de fator integrante dependente só de
ou só de
.
- Para um fator integrante
que depende só de , uma condição prática é que
deva ser função apenas de
.
- Calcular:
então
que depende de
. Logo NÃO existe fator integrante que seja função somente de
.
- Para um fator integrante
que depende só de , a condição prática é que
deva ser função apenas de
.
- Calcular:
então
que depende de
. Logo NÃO existe fator integrante que seja função somente de
.
Explicação curta: quando esses quocientes resultam em funções puramente de
ou puramente de
, integrais simples permitem obter
ou
. Aqui nenhum dos quocientes é dependente de apenas uma variável, então não há fator integrante puramente em
nem puramente em
.
Passo 8
Resumo dos resultados (passo a passo do raciocínio didático):
- Não é separável (porque
não se decompõe em ). - Não é linear em
nem da forma de Bernoulli clássica. - Não é homogênea (porque
contém termos de graus diferentes). - Não é exata (porque
). - Não admite fator integrante que dependa somente de
nem somente de (os testes mostram dependência mista).
Observação de estratégia: isso significa que a equação não pertence a nenhuma das classes elementares simples. Para resolvê-la pode ser necessário buscar um fator integrante dependente de combinação de
e
(por exemplo
com cálculo explícito), tentar uma substituição sofisticada, ou tratar
como função de
e procurar transformações (às vezes
ou vice-versa) — mas esses caminhos são mais avançados e não garantem solução fechada simples.
Resposta
A equação não é separável; não é linear; não é homogênea; não é exata; e não admite fator integrante que dependa apenas de
nem apenas de
. Portanto, não pertence a nenhuma das classes elementares simples testadas.