Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{\ln (x-y+2)}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e fazer um esboço desse domínio. A função dada é
f(x,y)=\frac{\ln\bigl(x-y+2\bigr)}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y-x^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • Há um logaritmo natural \ln\bigl(x-y+2\bigr).
  • Aparecem duas raízes quadradas no denominador: \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e \sqrt{y-x^{2}}.
  • Ambas as raízes estão no denominador de frações, então seus radicandos não podem ser zero (devem ser estritamente positivos).
    O objetivo imediato é descobrir o subconjunto de \mathbb{R}^{2} onde todas essas expressões fazem sentido simultaneamente.

Passo 2

Vou revisar, passo a passo, as regras que usamos para decidir se uma expressão matemática está bem definida (são regras que valem sempre e vão servir na prova):
  • Para \ln(u) ser definido é necessário e suficiente que u>0. Aqui u=x-y+2.
  • Para \sqrt{v} ser um número real é necessário que v\ge 0. Porém, se \sqrt{v} aparece no denominador de uma fração, precisamos de v>0 (porque dividir por zero é proibido).
    Aplicando essas regras aos três pedaços da função vamos deduzir as desigualdades que definem o domínio.

Passo 3

Analiso cada condição separadamente e explico o porquê de cada uma.
Cond. 1: argumento do logaritmo
x-y+2>0.
Isto é, a condição é
y<x+2.
Explicação rápida: \ln exige argumento positivo, então imponho essa desigualdade estrita.
Cond. 2: primeiro denominador
\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}
como está no denominador, o radicando deve ser estritamente positivo:
9-x^{2}-y^{2}>0.
Isto é equivalentemente
x^{2}+y^{2}<9.
Geometricamente é o interior aberto do círculo de raio 3 centrado na origem.
Cond. 3: segundo denominador
\sqrt{y-x^{2}}
também está no denominador, logo
y-x^{2}>0.
Isto é
y>x^{2}.
Geometricamente é a região estritamente acima da parábola y=x^{2}.

Passo 4

Agora uno todas as condições: o domínio D\) é a interseção das três regiões descritas. Em forma de desigualdades temos \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}<9,\\[4pt] y>x^{2},\\[4pt] y<x+2. \end{cases}
Em palavras: pontos (x,y)\] que estão simultaneamente no interior do círculo de raio \(3, estritamente acima da parábola y=x^{2} e estritamente abaixo da reta y=x+2.]

Passo 5

Vamos checar que essa interseção não é vazia com um exemplo numérico simples (isso é útil para ganhar confiança na solução). Tomo o ponto (0,1) e verifico as três desigualdades.
Cálculos:
x^{2}+y^{2}=0^{2}+1^{2}=1<9,
y-x^{2}=1-0=1>0,
x+2-y=0+2-1=1>0\quad\text{ou seja}\quad y<x+2.
Como todas as três condições são satisfeitas, o domínio é não-vazio. Bom sinal — existe região válida para a função.

Passo 6

Para fazer um esboço fiel do domínio é útil conhecer os pontos onde as curvas de fronteira se cruzam. Vou calcular as interseções principais e mostrar como obtê-las (isso ajuda bastante no esboço à mão na prova).
Interseção parábola com círculo: resolver y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=9. Substituindo y=x^{2} obtemos
x^{2}+(x^{2})^{2}=9.
Colocando t=x^{2}
t^{2}+t-9=0.
Usando a fórmula de Bhaskara
t=\frac{-1\pm\sqrt{1+36}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{37}}{2}.
Só interessa a raiz positiva
t=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}\approx 2{,}541.
Logo
x=\pm\sqrt{2{,}541}\approx\pm 1{,}594
e o ponto de interseção tem y=x^{2}\approx 2{,}541.
Interseção reta com círculo: resolver y=x+2 e x^{2}+y^{2}=9. Substituindo dá
x^{2}+(x+2)^{2}=9,
2x^{2}+4x-5=0.
Fórmula de Bhaskara
x=\frac{-4\pm\sqrt{16+40}}{4}=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}.
Na forma decimal
x\approx 0{,}871\quad\text{ou}\quad x\approx -2{,}871.
Os correspondentes y são y=x+2, dando os pontos aproximados (0{,}871,2{,}871) e (-2{,}871,-0{,}871).
Interseção parábola com reta: resolver x^{2}=x+2 que é
x^{2}-x-2=0,
com raízes
x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}.
Portanto x=2 ou x=-1. Os pontos de interseção são (2,4) e (-1,1). Note que (2,4) está fora do círculo e portanto não pertence ao domínio; (-1,1) está dentro do círculo.

Passo 7

Descrição do esboço (como desenhar rapidamente na prova):
  • Desenhe o círculo centrado na origem com raio 3.
  • Desenhe a parábola y=x^{2} (abre para cima) — interesse só na parte dentro do círculo.
  • Desenhe a reta y=x+2.
  • O domínio é a região dentro do círculo (interior aberto) que fica acima da parábola e abaixo da reta. Todas as fronteiras estão excluídas (strict inequalities), então trace-as como linhas finas e não sombreie sobre elas.
  • Pontos de referência úteis no esboço: (-1,1) é um ponto onde parábola e reta se encontram dentro do círculo; os encontros da parábola com o círculo estão em x\approx\pm 1{,}594 com y\approx 2{,}541; a reta corta o círculo em x\approx 0{,}871 e x\approx -2{,}871. Essas interseções definem o contorno da região dentro do círculo que satisfaz x^{2}<y<x+2.

Passo 8

Resumo final e observações importantes para a prova:
  • Todas as desigualdades são estritas por causa dos denominadores (não podemos ter radicando zero) e pelo domínio do logaritmo (argumento deve ser estritamente positivo).
  • É essencial ao esboçar marcar claramente que os contornos não pertencem ao domínio.
  • Se precisar testar um ponto rápido para saber se a região é acessível, use pontos simples como (0,1) ou (-1,1) (este último está exatamente na interseção da parábola com a reta, mas como a desigualdade é estrita, (-1,1) NÃO pertence ao domínio; cuidado com esses casos).

Resposta

D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<9,\\ y>x^{2},\\ y<x+2\bigr\}.

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