Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e fazer um esboço desse domínio. A função dada é
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
- Há um logaritmo natural
. - Aparecem duas raízes quadradas no denominador:
e . - Ambas as raízes estão no denominador de frações, então seus radicandos não podem ser zero (devem ser estritamente positivos).
O objetivo imediato é descobrir o subconjunto deonde todas essas expressões fazem sentido simultaneamente.
Passo 2
Vou revisar, passo a passo, as regras que usamos para decidir se uma expressão matemática está bem definida (são regras que valem sempre e vão servir na prova):
- Para
ser definido é necessário e suficiente que . Aqui . - Para
ser um número real é necessário que . Porém, se aparece no denominador de uma fração, precisamos de (porque dividir por zero é proibido).
Aplicando essas regras aos três pedaços da função vamos deduzir as desigualdades que definem o domínio.
Passo 3
Analiso cada condição separadamente e explico o porquê de cada uma.
Cond. 1: argumento do logaritmo
Isto é, a condição é
Explicação rápida:
exige argumento positivo, então imponho essa desigualdade estrita.
Cond. 2: primeiro denominador
como está no denominador, o radicando deve ser estritamente positivo:
Isto é equivalentemente
Geometricamente é o interior aberto do círculo de raio
centrado na origem.
Cond. 3: segundo denominador
também está no denominador, logo
Isto é
Geometricamente é a região estritamente acima da parábola
.
Passo 4
Agora uno todas as condições: o domínio
Em palavras: pontos
, estritamente acima da parábola
e estritamente abaixo da reta
.]
Passo 5
Vamos checar que essa interseção não é vazia com um exemplo numérico simples (isso é útil para ganhar confiança na solução). Tomo o ponto
e verifico as três desigualdades.
Cálculos:
Como todas as três condições são satisfeitas, o domínio é não-vazio. Bom sinal — existe região válida para a função.
Passo 6
Para fazer um esboço fiel do domínio é útil conhecer os pontos onde as curvas de fronteira se cruzam. Vou calcular as interseções principais e mostrar como obtê-las (isso ajuda bastante no esboço à mão na prova).
Interseção parábola com círculo: resolver
e
. Substituindo
obtemos
Colocando
dá
Usando a fórmula de Bhaskara
Só interessa a raiz positiva
Logo
e o ponto de interseção tem
.
Interseção reta com círculo: resolver
e
. Substituindo dá
Fórmula de Bhaskara
Na forma decimal
Os correspondentes
são
, dando os pontos aproximados
e
.
Interseção parábola com reta: resolver
que é
com raízes
Portanto
ou
. Os pontos de interseção são
e
. Note que
está fora do círculo e portanto não pertence ao domínio;
está dentro do círculo.
Passo 7
Descrição do esboço (como desenhar rapidamente na prova):
- Desenhe o círculo centrado na origem com raio
. - Desenhe a parábola
(abre para cima) — interesse só na parte dentro do círculo. - Desenhe a reta
. - O domínio é a região dentro do círculo (interior aberto) que fica acima da parábola e abaixo da reta. Todas as fronteiras estão excluídas (strict inequalities), então trace-as como linhas finas e não sombreie sobre elas.
- Pontos de referência úteis no esboço:
é um ponto onde parábola e reta se encontram dentro do círculo; os encontros da parábola com o círculo estão em com ; a reta corta o círculo em e . Essas interseções definem o contorno da região dentro do círculo que satisfaz .
Passo 8
Resumo final e observações importantes para a prova:
- Todas as desigualdades são estritas por causa dos denominadores (não podemos ter radicando zero) e pelo domínio do logaritmo (argumento deve ser estritamente positivo).
- É essencial ao esboçar marcar claramente que os contornos não pertencem ao domínio.
- Se precisar testar um ponto rápido para saber se a região é acessível, use pontos simples como
ou (este último está exatamente na interseção da parábola com a reta, mas como a desigualdade é estrita, NÃO pertence ao domínio; cuidado com esses casos).