Questão 6 (a) Completando quadrado, mostre que
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{x^{2}-x+1}=\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}
(b) Usando a fatoração de x^{3}+1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do ítem (a). Depois expresse \frac{1}{x^{3}+1} como a soma de uma série de potências e use-a para mostrar a seguinte fórmula para \pi :
\pi=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{8^{n}}\left(\frac{2}{3 n+1}+\frac{1}{3 n+2}\right)

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. (a) Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{x^{2}-x+1} e mostrar que o resultado é \displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
    2. (b) Usar a fatoração de x^{3}+1 como soma de cubos para reescrever a integral do item (a); em seguida, expandir \displaystyle \frac{1}{x^{3}+1} em série de potências (onde isso converge) e integrar termo a termo para obter a fórmula para \pi
    \pi=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{8^n}\!\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right).
  • Informações relevantes dadas ou úteis:
    • A expressão quadrática do denominador é x^{2}-x+1.
    • A fatoração conhecida é \displaystyle x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
    • No intervalo de integração x\in[0,\tfrac{1}{2}] temos |x^3|\le \tfrac{1}{8}<1, o que permite usar a série geométrica em x^3.
    • A fórmula padrão que usarei: \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.

Passo 2

(a) Primeiro vou simplificar o denominador completando o quadrado — isso é uma técnica padrão para transformar uma quadrática em algo do tipo (u)^2+a^2, que leva a arctan.
  • Calcular o completamento de quadrado de x^{2}-x+1. Escreve-se
    x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\tfrac{1}{4}\right).
    Avaliando,
    1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4},
    então
    x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4}.
  • Identifico a forma canônica \left(u\right)^{2}+a^{2} com u=x-\tfrac{1}{2} e a^{2}=\tfrac{3}{4}, logo a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

(a) Faço a substituição u=x-\tfrac{1}{2}. Então du=dx. Os limites de integração mudam como:
  • quando x=0, u=0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2};
  • quando x=\tfrac{1}{2}, u=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
A integral torna-se
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{2}-x+1} = \int_{u=-\frac{1}{2}}^{0}\frac{du}{u^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.

Passo 4

(a) Uso a primitiva conhecida para \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}. Com a=\tfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{du}{u^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} = \left[\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)\right]_{u=-\frac{1}{2}}^{u=0} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\left(\arctan(0)-\arctan\!\left(\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)\right).
  • Simplifico \frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • O argumento de \arctan é \dfrac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • Então \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{2}-x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(0-\arctan\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

(a) Reconheço que \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6} porque \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{2}-x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Isto completa o item (a).

Passo 6

(b) Agora uso a fatoração \displaystyle x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1). Disto segue que
\frac{1}{x^{2}-x+1}=\frac{x+1}{x^{3}+1}.
Portanto a integral do item (a) pode ser reescrita como
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{x^{2}-x+1} = \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{x^{3}+1}\,dx.

Passo 7

(b) Vou expandir \displaystyle \frac{1}{x^{3}+1} em série de potências. A série geométrica elementar diz que, para |z|<1,
\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}.
Aqui tomo z=x^{3}. Como em nosso intervalo x\in[0,\tfrac{1}{2}] temos |x^{3}|\le \tfrac{1}{8}<1, a expansão é válida e converge uniformemente, permitindo integrar termo a termo. Assim
\frac{1}{x^{3}+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}.
Multiplicando por (x+1) obtenho
\frac{x+1}{x^{3}+1}=(x+1)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bigl(x^{3n+1}+x^{3n}\bigr).

Passo 8

(b) Integro termo a termo no intervalo \left[0,\tfrac{1}{2}\right]. Pelo teorema da convergência uniforme,
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{x^{3}+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\bigl(x^{3n+1}+x^{3n}\bigr)\,dx.
Calculo as primitivas simples:
\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{3n}\,dx=\frac{1}{3n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3n+1}, \qquad \int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{3n+1}\,dx=\frac{1}{3n+2}\left(\frac{1}{2}\right)^{3n+2}.
Logo
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{x^{3}+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{3n+2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+2}+\frac{1}{3n+1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1}\right).

Passo 9

(b) Faço uma simplificação algébrica para colocar a soma na forma solicitada. Fatore \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1} em cada termo:
\frac{1}{3n+2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+2}+\frac{1}{3n+1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1}\!\left(\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3n+2}\right).
Note que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1}=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}. Assim o somando fica
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3n+1}\!\left(\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\!\left(\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3n+2}\right).
Coloco os termos dentro de um único parêntese conveniente:
\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3n+2} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right).
Portanto cada somando é
\frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right) =\frac{1}{4}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right).
Logo a integral vale
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{x^{3}+1}\,dx = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\!\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right).

Passo 10

(b) Finalmente, uso o resultado do item (a), que mostrou que a mesma integral vale \displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{3}}. Igualando as duas expressões obtemos
\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\tfrac{1}{8}\right)^{n}\!\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right).
Multiplicando ambos os lados por 3\sqrt{3} e por 4 (ou diretamente isolando \pi), resulta
\pi=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{8^{n}}\!\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right),
que é exatamente a fórmula pedida.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{x^{2}-x+1}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}
\displaystyle \pi=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{8^{n}}\left(\frac{2}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\right)

Exercícios relacionados