Questão 6 (a) Completando quadrado, mostre que
(b) Usando a fatoração de
como uma soma de cubos, reescreva a integral do ítem (a). Depois expresse
como a soma de uma série de potências e use-a para mostrar a seguinte fórmula para
:
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
-
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a integral
e mostrar que o resultado é . - (b) Usar a fatoração de
como soma de cubos para reescrever a integral do item (a); em seguida, expandir em série de potências (onde isso converge) e integrar termo a termo para obter a fórmula para
- (a) Calcular a integral
-
Informações relevantes dadas ou úteis:
- A expressão quadrática do denominador é
. - A fatoração conhecida é
. - No intervalo de integração
temos , o que permite usar a série geométrica em . - A fórmula padrão que usarei:
.
- A expressão quadrática do denominador é
Passo 2
(a) Primeiro vou simplificar o denominador completando o quadrado — isso é uma técnica padrão para transformar uma quadrática em algo do tipo
, que leva a arctan.
-
Calcular o completamento de quadrado de
. Escreve-se Avaliando,então -
Identifico a forma canônica
com e , logo .
Passo 3
(a) Faço a substituição
. Então
. Os limites de integração mudam como:
- quando
, ; - quando
, .
A integral torna-se
Passo 4
(a) Uso a primitiva conhecida para
. Com
obtemos
- Simplifico
. - O argumento de
é . - Então
Passo 5
(a) Reconheço que
porque
. Assim
Isto completa o item (a).
Passo 6
(b) Agora uso a fatoração
. Disto segue que
Portanto a integral do item (a) pode ser reescrita como
Passo 7
(b) Vou expandir
em série de potências. A série geométrica elementar diz que, para
,
Aqui tomo
. Como em nosso intervalo
temos
, a expansão é válida e converge uniformemente, permitindo integrar termo a termo. Assim
Multiplicando por
obtenho
Passo 8
(b) Integro termo a termo no intervalo
. Pelo teorema da convergência uniforme,
Calculo as primitivas simples:
Logo
Passo 9
(b) Faço uma simplificação algébrica para colocar a soma na forma solicitada. Fatore
em cada termo:
Note que
. Assim o somando fica
Coloco os termos dentro de um único parêntese conveniente:
Portanto cada somando é
Logo a integral vale
Passo 10
(b) Finalmente, uso o resultado do item (a), que mostrou que a mesma integral vale
. Igualando as duas expressões obtemos
Multiplicando ambos os lados por
e por
(ou diretamente isolando
), resulta
que é exatamente a fórmula pedida.