Questão 1. Determine os vetores velocidade, aceleração, tangente unitário, binormal, curvatura e o comprimento da curva no intervalo t \in[0,1] para a função r(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right)
no intervalo t\in[0,1] e pede os seguintes itens:
vetor velocidade v(t);
vetor aceleração a(t);
tangente unitário T(t);
binormal B(t);
curvatura \kappa(t);
comprimento da curva no intervalo t\in[0,1].
As informações relevantes que temos são apenas a expressão de r(t) e o intervalo. Não há dados numéricos adicionais.
Passo 2
Primeiro passo operacional: lembrar definições básicas e como calcular derivadas vetoriais.
Explicação rápida das fórmulas que usarei (sem pular etapas):
O vetor velocidade é a derivada de r(t) em relação a t: v(t)=r'(t). Aqui cada componente deriva separadamente.
O vetor aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=v'(t)=r''(t).
O tangente unitário é a normalização da velocidade: T(t)=\dfrac{v(t)}{\lVert v(t)\rVert}, onde \lVert v(t)\rVert é a norma euclidiana do vetor.
O binormal é definido como B(t)=\dfrac{v(t)\times a(t)}{\lVert v(t)\times a(t)\rVert} (produto vetorial normalizado).
Observação didática: a curvatura mede “o quanto a curva está desviando de uma linha reta” no ponto t. A fórmula com produto vetorial é prática porque combina velocidade e aceleração sem precisar derivar T.
Passo 10
Calcular o binormal B(t)=\dfrac{v(t)\times a(t)}{\lVert v(t)\times a(t)\rVert}.
Comentário sobre a integral: a função integranda \sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}} não se reduz a uma primitiva elementar simples; essa integral é uma integral elíptica (não expressável por funções elementares usuais). Então, para respostas exatas normalmente deixamos o comprimento na forma integral. Se for preciso um valor numérico, pode-se aproximar por métodos numéricos; por exemplo, uma avaliação aproximada (por quadratura numérica) dá
s\approx 1{,}47894\quad(\text{aprox.}).
Mas a forma exata é a integral acima.
Passo 12
Pequeno resumo pedagógico e incentivo: resumindo, derivadas e produtos vetoriais foram as ferramentas principais aqui. Se na prova aparecer uma curva polinomial assim, calcule primeiro v e a, depois normas, produto vetorial e normalize conforme as fórmulas dadas. Se a integral de comprimento não for elementar, deixe em forma integral a menos que peçam aproximação numérica.