Questão 1. Determine os vetores velocidade, aceleração, tangente unitário, binormal, curvatura e o comprimento da curva no intervalo t \in[0,1] para a função r(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right)
no intervalo t\in[0,1] e pede os seguintes itens:
  • vetor velocidade v(t);
  • vetor aceleração a(t);
  • tangente unitário T(t);
  • binormal B(t);
  • curvatura \kappa(t);
  • comprimento da curva no intervalo t\in[0,1].
As informações relevantes que temos são apenas a expressão de r(t) e o intervalo. Não há dados numéricos adicionais.

Passo 2

Primeiro passo operacional: lembrar definições básicas e como calcular derivadas vetoriais.
Explicação rápida das fórmulas que usarei (sem pular etapas):
  • O vetor velocidade é a derivada de r(t) em relação a t: v(t)=r'(t). Aqui cada componente deriva separadamente.
  • O vetor aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=v'(t)=r''(t).
  • O tangente unitário é a normalização da velocidade: T(t)=\dfrac{v(t)}{\lVert v(t)\rVert}, onde \lVert v(t)\rVert é a norma euclidiana do vetor.
  • O binormal é definido como B(t)=\dfrac{v(t)\times a(t)}{\lVert v(t)\times a(t)\rVert} (produto vetorial normalizado).
  • A curvatura pode ser calculada pela fórmula
\kappa(t)=\frac{\lVert v(t)\times a(t)\rVert}{\lVert v(t)\rVert^{3}}.
Essa expressão é útil porque evita calcular a derivada do tangente unitário explicitamente.
  • O comprimento de arco entre t_0 e t_1 é
s=\int_{t_0}^{t_1}\lVert v(t)\rVert\,dt.
Agora aplicamos essas fórmulas à nossa curva.

Passo 3

Calcular v(t)=r'(t) componente a componente.
Derivando cada componente:
  • derivada de t é 1;
  • derivada de t^{2} é 2t;
  • derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Portanto,
v(t)=\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right).

Passo 4

Calcular a(t)=v'(t)=r''(t).
Derivando v(t) componente a componente:
  • derivada de 1 é 0;
  • derivada de 2t é 2;
  • derivada de 3t^{2} é 6t.
Logo
a(t)=\left(0,\;2,\;6t\right).

Passo 5

Calcular a norma de v(t), que usaremos para normalizar e também para o comprimento e curvatura.
A norma euclidiana é
\lVert v(t)\rVert=\sqrt{(1)^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.
É importante entender que \lVert v(t)\rVert é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor velocidade.

Passo 6

Construir o tangente unitário T(t)=\dfrac{v(t)}{\lVert v(t)\rVert}.
Dividindo componente a componente por \lVert v(t)\rVert, obtemos
T(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}\,\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr).
Interpretação prática: T(t) tem direção da velocidade mas comprimento 1.

Passo 7

Calcular o produto vetorial v(t)\times a(t). Vou mostrar cada componente usando a regra do determinante 3×3.
v(t)\times a(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2t & 3t^{2} \\\\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix}.
Computando:
  • componente \mathbf{i}: 2t\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 2 = 12t^{2}-6t^{2}=6t^{2};
  • componente \mathbf{j}: 1\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 0 = 6t, mas com sinal negativo pela regra do determinante, fica -6t;
  • componente \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 2t\cdot 0 = 2.
Portanto
v(t)\times a(t)=\bigl(6t^{2},\;-6t,\;2\bigr).

Passo 8

Calcular a norma \lVert v(t)\times a(t)\rVert, que entra na curvatura e no binormal.
\lVert v(t)\times a(t)\rVert =\sqrt{(6t^{2})^{2}+(-6t)^{2}+2^{2}} =\sqrt{36t^{4}+36t^{2}+4}.
Fatorando um 4 para simplificar a aparência:
\lVert v(t)\times a(t)\rVert=2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}.

Passo 9

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\lVert v(t)\times a(t)\rVert}{\lVert v(t)\rVert^{3}}.
Substituindo as normas que já temos:
\kappa(t)=\frac{2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}{\left(1+4t^{2}+9t^{4}\right)^{3/2}}.
Observação didática: a curvatura mede “o quanto a curva está desviando de uma linha reta” no ponto t. A fórmula com produto vetorial é prática porque combina velocidade e aceleração sem precisar derivar T.

Passo 10

Calcular o binormal B(t)=\dfrac{v(t)\times a(t)}{\lVert v(t)\times a(t)\rVert}.
Substituindo o produto vetorial e sua norma:
B(t)=\frac{1}{2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}\;\bigl(6t^{2},\;-6t,\;2\bigr).
Podemos simplificar o fator 2:
B(t)=\frac{1}{\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}\;\bigl(3t^{2},\;-3t,\;1\bigr).
Isso dá um vetor unitário perpendicular ao plano formado por v e a.

Passo 11

Calcular o comprimento da curva s no intervalo t\in[0,1].
Pela fórmula do comprimento de arco:
s=\int_{0}^{1}\lVert v(t)\rVert\,dt=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\;dt.
Comentário sobre a integral: a função integranda \sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}} não se reduz a uma primitiva elementar simples; essa integral é uma integral elíptica (não expressável por funções elementares usuais). Então, para respostas exatas normalmente deixamos o comprimento na forma integral. Se for preciso um valor numérico, pode-se aproximar por métodos numéricos; por exemplo, uma avaliação aproximada (por quadratura numérica) dá
s\approx 1{,}47894\quad(\text{aprox.}).
Mas a forma exata é a integral acima.

Passo 12

Pequeno resumo pedagógico e incentivo: resumindo, derivadas e produtos vetoriais foram as ferramentas principais aqui. Se na prova aparecer uma curva polinomial assim, calcule primeiro v e a, depois normas, produto vetorial e normalize conforme as fórmulas dadas. Se a integral de comprimento não for elementar, deixe em forma integral a menos que peçam aproximação numérica.

Resposta

v(t)=\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right)
a(t)=\left(0,\;2,\;6t\right)
T(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}\,\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right)
B(t)=\frac{1}{\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}\;\left(3t^{2},\;-3t,\;1\right)
\kappa(t)=\frac{2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}}{\left(1+4t^{2}+9t^{4}\right)^{3/2}}
s=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\;dt\approx 1{,}47894

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