Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=raizy-x^2+raiz2 x-y.

Passo 1

Enunciado: Determinar o domínio da função de duas variáveis que envolve raízes quadradas. Matéria: domínio de funções de duas variáveis com radicais. Vamos precisar garantir que cada expressão dentro de uma raiz seja não negativa para a função estar bem definida.

Passo 2

Cada radicando deve satisfazer uma desigualdade de existência. Para raizy - x^2 precisamos de y - x^2 >= 0. Para raiz2x - y precisamos de 2x - y >= 0.
Combinando ambas as condições, temos as desigualdades
x^2 <= y <= 2x
que definem as limitações de x e y.

Passo 3

Para que existam x tais que x^2 <= 2x, resolvemos
x^2 - 2x <= 0 Longrightarrow x(x-2) <= 0 Longrightarrow 0 <= x <= 2
Logo, o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com
0 <= x <= 2, x^2 <= y <= 2x

Passo 4

Esboço do domínio: desenhe a parábola y = x^2 e a reta y = 2x, marque os pontos de interseção (0,0) e (2,4) e sombreie a região entre as duas curvas para x variando de 0 a 2.

Resposta

O domínio é D = (x,y)in R^2 mid 0 <= x <= 2,; x^2 <= y <= 2x.

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