Esboce o gráfico em R^3 das superfícies de equações:
x^2+y^2=z^4;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em R^3 a superfície dada por x^2+y^2=z^4. O conteúdo envolve superfícies quádricas e a técnica principal será usar seções transversais e explorar simetrias para desenhar o gráfico.

Passo 2

Observando que a equação só envolve x^2+y^2 e z^4, notamos simetria de rotação em torno do eixo z. Ou seja, a superfície é invariante por qualquer rotação no plano xy.
Para entender a forma, fazemos seções horizontais z=k. Substituindo na equação, temos x^2+y^2=k^4, que é um círculo de raio |k|^2. À medida que |k| cresce, o círculo cresce quadraticamente.

Passo 3

Em seguida, fazemos seções verticais pelo plano y=0. Aí a equação vira x^2=z^4, ou seja x=pm z^2. Isso é uma parábola no plano xz.
Como a superfície é de revolução dessa parábola em torno do eixo z, obtemos dois “bocais” (um para z>0 e outro simétrico para z<0), cada um com raio r=z^2.

Resposta

A superfície é o sólido de revolução da parábola x=z^2 sobre o eixo z, gerando dois “bowl” simétricos (um acima e outro abaixo do plano xy) cujos círculos horizontais têm raio r=|z|^2.

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