Determine e faça um esboço do domínio
da função
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar e fazer um esboço do domínio $ U $ da função $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $. O conteúdo aqui é sobre domínio de funções de duas variáveis, ou seja, descobrir para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a expressão $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $ dá um resultado válido.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se há alguma restrição para os valores de $ x $ e $ y $. Olhando a função $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $, percebemos que estamos subtraindo $ x^{2} $ e $ y^{2} $ de 4.
Como os quadrados de $ x $ e $ y $ ($ x^{2} $ e $ y^{2} $) são sempre maiores ou iguais a zero (já que qualquer número ao quadrado não pode ser negativo), a expressão $ 4 - x^{2} - y^{2} $ será sempre um número real, independente dos valores de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Então, não há nenhuma restrição nos valores de $ x $ e $ y $ para que $ z $ seja um número real. Isso significa que a função está definida para todos os números reais de $ x $ e $ y $.
Passo 4
Agora, para fazer o esboço do domínio $ U $, que é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ para os quais a função está definida, sabemos que qualquer ponto no plano $ xy $ está no domínio, já que não há restrições.
Resposta
O domínio $ U $ da função $ z = 4 - x^{2} - y^{2} $ é todo o plano cartesiano, ou seja, $ U = \mathbb{R}^{2} $.
Esboço do domínio:
Imagine um plano onde qualquer ponto $ (x, y) $ é válido. Não há áreas excluídas, então o domínio cobre todo o espaço bidimensional.