Determine e faça o esborço das superfícies de nível da função.
u(x, y, z)=x^2+4 y^2+z^2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar as superfícies de nível da função u(x,y,z)=x²+4y²+z² e esboçá-las. O conteúdo aqui é geometria analítica: para funções de três variáveis, uma superfície de nível é o lugar geométrico dos pontos que mantêm u constante. Para resolver, vamos fixar u(x,y,z)=k e interpretar a equação resultante.

Passo 2

Definimos a superfície de nível correspondente ao valor k como o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
x^2 + 4y^2 + z^2 = k
Aqui k é uma constante real não negativa, pois x², 4y² e z² são sempre ≥0.

Passo 3

Para reconhecer a forma geométrica, dividimos ambos os lados por k (assumindo k>0) e obtemos
x^2k + 4y^2k + z^2k = 1
Em seguida isolamos o termo em y²:
x^2k + y^2k/4 + z^2k = 1

Passo 4

Essa é a equação padrão de um elipsoide centrado na origem, cujos semi-eixos ao longo de x, y e z são, respectivamente, √k, √(k/4) e √k. Em particular, os eixos x e z têm o mesmo comprimento (√k), enquanto o eixo y é menor (√k/2).

Passo 5

Ao variar o parâmetro k>0 obtemos uma família de elipsoides concêntricos. Para esboçar, imagine elipsoides alinhados com os eixos coordenados, alongados igualmente nos eixos x e z e mais ‘‘achatados’’ no eixo y. Para k=0 a superfície degenera no ponto origem.

Resposta

As superfícies de nível são os elipsoides centrados na origem
o chão de nível k≥0:
x^2k + y^2k/4 + z^2k = 1
com semi-eixos √k, √(k/4) e √k ao longo de x, y e z, respectivamente.

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