Determine e faça o esborço do domínio da função.
f(x, y)=e^x+yx^2-y^2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de duas variáveis
f(x, y)=e^x+yx^2-y^2. O conteúdo é domínio de funções de várias variáveis e vamos precisar garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para existir f(x,y), precisamos ter
x^2-y^2neq 0. Essa é a única restrição, pois e^x+y está sempre definido.

Passo 3

Aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
x^2-y^2=(x-y)(x+y). Logo, o denominador se anula se e somente se x-y=0 ou x+y=0, isto é, quando x=y ou x=-y.

Passo 4

Portanto o domínio é
(x,y)inR^2mid xneq y e xneq -y, ou equivalentemente
(x,y)mid x^2-y^2neq 0.

Passo 5

Para esboçar o domínio, desenhe o plano xy, trace as retas y=x e y=-x e observe que o domínio é todo o plano, exceto essas duas retas, ficando quatro setores abertos.

Resposta

O domínio é
D=(x,y)inR^2mid x^2-y^2neq0, ou seja, todo o plano salvo as retas y=x e y=-x.

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