Determine se é possível definir
de modo que a função dada seja contínua.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se dá pra definir $ f(0,0) $ de um jeito que a função seja contínua. A função dada é:
O conteúdo aqui envolve continuidade de funções de duas variáveis e limites. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Diz que uma função é contínua num ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Então, pra $ f $ ser contínua em $ (0,0) $, precisamos que:
exista.
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Olha só:
Sabemos que $ |\sin(z)| \leq |z| $ pra qualquer número real $ z $. Então:
Isso nos leva a:
Passo 4
Agora, precisamos entender como $ \frac{|xy|}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ se comporta quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Podemos usar a desigualdade da média aritmética e geométrica ou simplesmente observar que tanto $ x $ quanto $ y $ estão indo para zero.
Vamos considerar que:
Então:
À medida que $ (x, y) $ vai para $ (0,0) $, $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ também vai para zero. Portanto:
Passo 5
Como $ |f(x, y)| $ é menor ou igual a algo que tende a zero, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), o limite de $ f(x, y) $ também é zero:
Resposta
Sim, é possível definir $ f(0,0) = 0 $ para que a função seja contínua.