Determine se é possível definir f(0,0) de modo que a função dada seja contínua.
f(x, y)=sin (x y)raizx^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se dá pra definir $ f(0,0) $ de um jeito que a função seja contínua. A função dada é:
f(0,0)
O conteúdo aqui envolve continuidade de funções de duas variáveis e limites. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Diz que uma função é contínua num ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Então, pra $ f $ ser contínua em $ (0,0) $, precisamos que:
f
exista.

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Olha só:
f(x, y) = sin(xy)raizx^2 + y^2
Sabemos que $ |\sin(z)| \leq |z| $ pra qualquer número real $ z $. Então:
|sin(z)| <= |z|
Isso nos leva a:
z

Passo 4

Agora, precisamos entender como $ \frac{|xy|}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ se comporta quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Podemos usar a desigualdade da média aritmética e geométrica ou simplesmente observar que tanto $ x $ quanto $ y $ estão indo para zero.
Vamos considerar que:
|xy|raizx^2 + y^2
Então:
(x, y)
À medida que $ (x, y) $ vai para $ (0,0) $, $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ também vai para zero. Portanto:
(0,0)

Passo 5

Como $ |f(x, y)| $ é menor ou igual a algo que tende a zero, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), o limite de $ f(x, y) $ também é zero:
|f(x, y)|

Resposta

Sim, é possível definir $ f(0,0) = 0 $ para que a função seja contínua.

Exercícios relacionados