Determine se é possível definir
de modo que a função dada seja contínua.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
A pergunta é: É possível definir o valor de $ f(0, 0) $ de maneira que a função seja contínua nesse ponto?
Para resolver isso, precisamos verificar se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $ existe e é igual a um valor específico. Se esse limite existir, podemos definir $ f(0, 0) $ igual a esse valor para garantir a continuidade.
Passo 2
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde:
Aqui, $ r $ representa a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
Substituindo essas expressões na função:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão:
Factorando $ r^{2} $ no denominador:
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando $ r $ se aproxima de 0:
Como $ r $ está sendo multiplicado por termos que são limitados (já que $ \sin \theta $ e $ \cos \theta $ são sempre menores ou iguais a 1 em valor absoluto), o produto inteiro tende a 0.
Portanto:
Resposta
Sim, é possível definir $ f(0, 0) = 0 $ para que a função seja contínua nesse ponto.