Determine se é possível definir f(0,0) de modo que a função dada seja contínua.
f(x, y)=y x^2x^2+y^2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
f(x, y) = y x^2x^2 + y^2
A pergunta é: É possível definir o valor de $ f(0, 0) $ de maneira que a função seja contínua nesse ponto?
Para resolver isso, precisamos verificar se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $ existe e é igual a um valor específico. Se esse limite existir, podemos definir $ f(0, 0) $ igual a esse valor para garantir a continuidade.

Passo 2

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde:
f(x, y)
Aqui, $ r $ representa a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
Substituindo essas expressões na função:
(x, y)

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
f(r cos theta, r sin theta) = r sin theta cdot r^2 cos^2 thetar^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta
Factorando $ r^{2} $ no denominador:
r^2
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, temos:
f(r cos theta, r sin theta) = r^3 sin theta cos^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando $ r $ se aproxima de 0:
r
Como $ r $ está sendo multiplicado por termos que são limitados (já que $ \sin \theta $ e $ \cos \theta $ são sempre menores ou iguais a 1 em valor absoluto), o produto inteiro tende a 0.
Portanto:
limr to 0 r sin theta cos^2 theta

Resposta

Sim, é possível definir $ f(0, 0) = 0 $ para que a função seja contínua nesse ponto.

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