Determine e faça o gráfico do conjunto domínio da seguinte função.
f(x, y)=xy^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir e fazer o gráfico do domínio da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e analisar onde essa função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Para funções de duas variáveis, isso significa encontrar todos os pares que não fazem com que a função dê um resultado indefinido.

Passo 3

Olhemos para a nossa função: . O ponto crucial aqui é o denominador da fração, que é . Uma fração fica indefinida quando o denominador é igual a zero, porque divisão por zero não existe.

Passo 4

Vamos então verificar quando o denominador é igual a zero:
y^2 + 1 = 0
y^2 = -1
Aqui, percebemos um problema: o quadrado de qualquer número real é sempre zero ou positivo. Ou seja, nunca será negativo. Logo, nunca será igual a zero para qualquer valor real de .

Passo 5

Como o denominador nunca é zero, isso significa que a função está sempre definida para qualquer valor real de e . Não existem restrições no domínio.

Passo 6

Agora, para fazer o gráfico do domínio, já que a função está definida para todos os pares reais, o domínio é todo o plano . Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser usado como entrada para a função.

Resposta

O domínio da função R^2 = (x, y) mid x in R, y in R é todo o conjunto dos números reais para e . Em termos matemáticos, isso pode ser representado como:
O gráfico do domínio é todo o plano .

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