Determine e faça o gráfico do conjunto domínio da seguinte função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir e fazer o gráfico do domínio da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e analisar onde essa função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida. Para funções de duas variáveis, isso significa encontrar todos os pares
que não fazem com que a função dê um resultado indefinido.
Passo 3
Olhemos para a nossa função:
. O ponto crucial aqui é o denominador da fração, que é
. Uma fração fica indefinida quando o denominador é igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Passo 4
Vamos então verificar quando o denominador é igual a zero:
Aqui, percebemos um problema: o quadrado de qualquer número real é sempre zero ou positivo. Ou seja,
nunca será negativo. Logo,
nunca será igual a zero para qualquer valor real de
.
Passo 5
Como o denominador
nunca é zero, isso significa que a função
está sempre definida para qualquer valor real de
e
. Não existem restrições no domínio.
Passo 6
Agora, para fazer o gráfico do domínio, já que a função está definida para todos os pares
reais, o domínio é todo o plano
. Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser usado como entrada para a função.
Resposta
O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais para
e
. Em termos matemáticos, isso pode ser representado como:
O gráfico do domínio é todo o plano
.