Calcule as derivadas das funções dadas nos exercícios 1 a 18.
f(x)=raiz[3]x^5-4 x^3+1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=√[3]{x⁵−4x³+1}. O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia junto com a regra do poder (potência de u). Vamos usar essas duas ideias para encontrar f’(x).

Passo 2

Definimos a função interna u(x)=x⁵−4x³+1 e a externa g(u)=u^{1/3}. Assim f(x)=g(u(x)).

Passo 3

Calculamos agora u’(x) aplicando a regra de derivação termo a termo em u(x)=x⁵−4x³+1: u’(x)=5x⁴−12x².

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia: f’(x)=g’(u(x))·u’(x). Como g(u)=u^{1/3}, temos
g(u)=13u^-2/3

Passo 5

Logo, substituindo u(x) e u’(x):
f(x)=13(x⁵−4x³+1)^-2/3cdot(5x⁴−12x²)³²

Passo 6

Por fim, organizamos o resultado numa forma mais conveniente: colocamos o fator 3 no denominador e mantemos a potência positiva no denom.:
f(x)=5x⁴-12x²3,(x⁵-4x³+1)^2/3²³

Resposta

f(x)=5x⁴-12x²3,(x⁵-4x³+1)^2/3²³

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