Determine a família de primitivas para cada função: integral x cdot raiz[3]1+3 x^2 d x

Passo 1

Primeiro, a gente tem que calcular a integral integral x cdot raiz[3]1+3x^2,dx. É um exercício de integração cujo conteúdo é a técnica de substituição.

Passo 2

Definimos u = 1 + 3x^2. Então du = 6x,dx. Isso nos permite expressar x,dx = du6.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral x cdot raiz[3]1+3x^2,dx = integral u^1/3,du6 = 16 integral u^1/3,du

Passo 4

A integral em u é direta, pois a regra de potência diz
integral u^1/3,du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C

Passo 5

Voltando para x e simplificando o coeficiente:
16 cdot 34 u^4/3 + C = 324(1+3x^2)^4/3 + C = 18(1+3x^2)^4/3 + C

Passo 6

Pronto! A família de primitivas é dada pela expressão final abaixo.

Resposta

18(1+3x^2)^4/3 + C

Exercícios relacionados